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精品资料章末综合测评(二)概率(时间120分钟,满分160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在题中横线上)1(2014·全国卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为_【解析】甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,白),(白,红),(白,蓝),(蓝,蓝),(蓝,白),(蓝,红),共9种而同色的有(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共3种所以所求概率P.【答案】2设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟)25303540频数(次)20304010则T的数学期望E(T)_.【解析】由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)25×0.230×0.335×0.440×0.132(分钟)【答案】32分钟3甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为,则此密码能被译出的概率为_【解析】三人都不能译出密码的概率为P,故三人能破译密码的概率是1P1.【答案】4已知XN(0,1),则P(1X2)_.【解析】P(1X1)0.683,P(2X2)0.954,P(1X2)(0.9540.683)0.135 5.P(1X2)0.6830.135 50.818 5.【答案】0.818 55已知随机变量XB,则V(2X1)_. 【导学号:29440064】【解析】V(2X1)22×V(X)4V(X),V(X)6××,V(2X1)4×6.【答案】66某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨他第一次失败,第二次成功的概率是_【解析】电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数,所以他第一次失败,第二次成功的概率为×.【答案】7设随机变量X服从二项分布,即XB(n,p),且E(X)3,p,则n_,V(X)_.【解析】E(X)np3,p,n21,并且V(X)np(1p)21××.【答案】218(2016·南通高二检测)某人参加驾照考试,共考6个科目,假设他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是p.若此人未能通过的科目数的均值是2,则p_.【解析】因为通过各科考试的概率为p,所以不能通过考试的概率为1p,易知B(6,1p),所以E()6(1p)2,解得p.【答案】9一个袋子装有大小相同的3个红球和2个白球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是_【解析】法一同时取出的2个球中含红球数X的概率分布为P(X0),P(X1),P(X2).E(X)0×1×2×.法二同时取出的2个球中含红球数X服从参数N5,M3,n2的超几何分布,所以E(X).【答案】10一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)x,f2(x)x2,f3(x)x3,f4(x)sin x,f5(x)cos x,f6(x)2.现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数的数学期望为_【解析】由于f2(x),f5(x),f6(x)为偶函数,f1(x),f3(x),f4(x)为奇函数,所以随机变量可取1,2,3,4.P(1),P(2),P(3),P(4).所以的概率分布为1234PE()1×2×3×4×.【答案】11. (2016·扬州高二检测)将一个半径适当的小球放入如图1所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入A袋中的概率为_图1【解析】小球落入B袋中的概率为P1×2,小球落入A袋中的概率为P1P1.【答案】12某一部件由三个电子元件按图2方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_图2【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000,502)得:三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率为p.超过1 000小时时元件1或元件2正常工作的概率p11(1p)2,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为p2p1×p.【答案】13(2016·苏州高二检测)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列结论:从中任取3球,恰有一个白球的概率是;从中有放回的取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为;现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为;从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是_. 【导学号:29440065】【解析】恰有一个白球的概率P,故正确;每次任取一球,取到红球次数XB,其方差为6××,故正确;设A第一次取到红球,B第二次取到红球则P(A),P(AB),P(B|A),故错;每次取到红球的概率P,所以至少有一次取到红球的概率为13,故正确【答案】14已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1,2)则下列比较正确的序号是_p1>p2,E(1)<E(2);p1<p2,E(1)>E(2);p1>p2,E(1)>E(2);p1<p2,E(1)<E(2)【解析】随机变量1,2的分布列如下:112P2123P所以E(1),E(2),所以E(1)<E(2)因为p1·,p2··,p1p2>0,所以p1>p2.【答案】二、解答题(本大题共6小题,共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)(2016·全国卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:图3以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n19与n20之中选其一,应选用哪个?【解】(1)由柱状图及以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X16)0.2×0.20.04;P(X17)2×0.2×0.40.16;P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24;P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24;P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2;P(X21)2×0.2×0.20.08;P(X22)0.2×0.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44,P(X19)0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元)当n19时,E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040;当n20时,E(Y)20×200×0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值,故应选n19.16(本小题满分14分)甲、乙两人独立解某一道数学题,已知甲独立解出的概率为0.6,且两人中至少有一人解出的概率为0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率;(2)求解出该题的人数X的概率分布【解】(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A,B,则P(A)0.6,P1P(·)10.4·P()0.92,解得P()0.2,P(B)0.8.(2)P(X0)P()·P()0.4×0.20.08,P(X1)P(A)·P()P()·P(B)0.44,P(X2)P(A)·P(B)0.6×0.80.48,X的概率分布为:X012P0.080.440.4817.(本小题满分14分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的概率分布;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率【解】(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)0.5,P(B)0.4,利润产量×市场价格成本,X所有可能的取值为500×101 0004 000,500×61 0002 000,300×101 0002 000,300×61 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)×(10.4)0.3,P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)×0.40.5×(10.4)0.5,P(X800)P(A)P(B)0.5×0.40.2,所以X的概率分布为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512;3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)3×0.82×0.20.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.18(本小题满分16分)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元,否则月工资定为2 100元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求X的概率分布;(2)求此员工月工资的期望【解】(1)X的所有可能取值为:0,1,2,3,4.P(Xi)(i0,1,2,3,4),故X的概率分布为:X01234P(2)令Y表示新录用员工的月工资,则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500,则P(Y3 500)P(X4),P(Y2 800)P(X3),P(Y2 100)P(X2),所以E(Y)3 500×2 800×2 100×2 280(元)所以此员工工资的期望为2 280元19(本小题满分16分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位:小时)和Y的概率分布分别为:X9001 0001 100P0.10.80.1Y9501 0001 050P0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好?【解】由期望的定义,得E(X)900×0.11 000×0.81 100×0.11 000,E(Y)950×0.31 000×0.41 050×0.31 000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等,需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定,即比较其方差由方差的定义,得V(X)(9001 000)2×0.1(1 0001 000)2×0.8(1 1001 000)2×0.12 000,V(Y)(9501 000)2×0.3(1 0001 000)2×0.4(1 0501 000)2×0.31 500.V(X)V(Y),乙厂生产的灯泡质量比甲稳定,即乙厂生产的灯泡质量较好20(本小题满分16分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3,再从这批产品中任取4件检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的概率分布及数学期望【解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)·P(B2|A2)××.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X400)1,P(X500),P(X800),所以以X的概率分布为X400500800PE(X)400×500×800×506.25.
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