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第四章三角函数与三角恒等变换学案17任意角的三角函数导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义自主梳理1任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形旋转开始时的射线OA叫做角的_，射线的端点O叫做角的_，旋转终止位置的射线OB叫做角的_，按_时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个_角(1)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是_角(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为_；终边在y轴上的角表示为_；终边落在坐标轴上的角可表示为_(3)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把长度等于_长的弧所对的_叫1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做_，它的单位符号是_，读作_，通常略去不写(5)度与弧度的换算关系360°_ rad；180°_ rad；1°_ rad；1 rad_57.30°.(6)弧长公式与扇形面积公式l_，即弧长等于_S扇_.2三角函数的定义任意角的三角函数定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么_叫做的正弦，记作sin ，即sin y；_叫做的余弦，记作cos ，即cos x；_叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示_，_和_自我检测1“”是“cos 2”的 （ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2.(20xx·济宁模拟)点P(tan 2 009°，cos 2 009°)位于 （ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3(20xx·山东青岛高三教学质量检测)已知sin <0且tan >0，则角是 （ ）A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角4已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 ()A. B. C. D.探究点一角的概念例1(1)如果角是第三象限角，那么，角的终边落在第几象限；(2)写出终边落在直线yx上的角的集合；(3)若168°k·360° (kZ)，求在0°，360°)内终边与角的终边相同的角变式迁移1若是第二象限的角，试分别确定2，的终边所在位置探究点二弧长与扇形面积例2(20xx·金华模拟)已知一个扇形的圆心角是，0<<2，其所在圆的半径是R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三三角函数的定义例3已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值变式迁移3已知角的终边经过点P(4a,3a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值1角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础2三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(20xx·宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为 （ ）A(，) B(，)C(，) D(，)2若0<x<，则使sin x>和cos x<同时成立的x的取值范围是 ()A.<x< B.<x<C.<x< D.<x<3已知为第三象限的角，则所在的象限是 ()A第一或第二象限 B第二或第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限4若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于 ()Asin B.C. D2sin 5已知且sin cos a，其中a(0,1)，则关于tan 的值，以下四个答案中，可能正确的是 ()A3 B3或C D3或题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，且0,2，则的取值范围是_7(20xx·龙岩模拟)已知点P落在角的终边上，且0,2)，则的值为_8阅读下列命题：若点P(a,2a) (a0)为角终边上一点，则sin ；同时满足sin ，cos 的角有且只有一个；设tan 且<<，则sin ；设cos(sin )·tan(cos )>0 (为象限角)，则在第一象限其中正确命题为_(将正确命题的序号填在横线上)三、解答题(共38分)9(12分)已知扇形OAB的圆心角为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积10(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .11(14分)(20xx·舟山月考)已知角终边经过点P(x，) (x0)，且cos x.求sin 的值答案 自主梳理1始边顶点终边逆顺零(1)第几象限(2)|k，kZ(3)|k·360°，kZ|2k，kZ(4)半径圆心角弧度制rad弧度(5)2°(6)|·r弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积lr|r22.yx(2)的正弦线的余弦线的正切线自我检测1A2.D3.C4.D课堂活动区例1解题导引(1)一般地，角与终边关于x轴对称；角与终边关于y轴对称；角与终边关于原点对称(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一角与2的整数倍，然后判断角的象限(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角解(1)2k<<2k (kZ)，2k<<2k(kZ)，即2k<<2k (kZ)角终边在第二象限又由各边都加上，得2k<<22k (kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角(2)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为.(3)168°k·360° (kZ)，56°k·120° (kZ)0°56°k·120°<360°，k0,1,2时，0°，360°)故在0°，360°)内终边与角的终边相同的角是56°，176°，296°.变式迁移1解是第二象限的角，k·360°90°<<k·360°180° (kZ)(1)2k·360°180°<2<2k·360°360° (kZ)，2的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上(2)k·180°45°<<k·180°90° (kZ)，当k2n (nZ)时，n·360°45°<<n·360°90°；当k2n1 (nZ)时，n·360°225°<<n·360°270°.是第一或第三象限的角的终边在第一或第三象限例2解题导引本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解解(1)设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，当60°，R10 cm时，可知lR cm.而SS扇SOABlRR2sin ××10×100× cm2.(2)已知2RlC，即2RRC，S扇R2·R·R·R·2R·2·2.当且仅当R2R，即2时，等号成立，即当为2弧度时，该扇形有最大面积C2.变式迁移2解设扇形半径为R，圆心角为，所对的弧长为l.(1)依题意，得221780.8或.8>2，舍去，.(2)扇形的周长为40，即R2R40，SlRR2R·2R2100.当且仅当R2R，即R10，2时扇形面积取得最大值，最大值为100.例3解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解解角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t) (t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t>0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t<0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，t>0时，sin ，cos ，tan ；t<0时，sin ，cos ，tan .变式迁移3解r5|a|.若a>0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，tan .若a<0，则r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .课后练习区1A2.B3.D4.C5.C6.解析由已知得2k<<2k或2k<<2k，kZ.02，当k0时，<<或<<.7.解析由三角函数的定义，tan 1.又sin >0，cos <0，P在第四象限，.8解析中，当在第三象限时，sin ，故错中，同时满足sin ，cos 的角为2k (kZ)，不只有一个，故错正确可能在第一象限或第四象限，故错综上选.9解(1)120°，r6，的弧长为lr×64.(4分)(2)S扇形OABlr×4×612，(7分)SABOr2·sin ×62×9，(10分)S弓形OABS扇形OABSABO129.(12分)10解(1)作直线y交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的集合为.(6分)(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围故满足条件的角的集合为.(12分)11解P(x，) (x0)，点P到原点的距离r.(2分)又cos x，cos x.x0，x±，r2.(6分)当x时，P点坐标为(，)，由三角函数的定义，有sin ，sin ；(10分)当x时，同样可求得sin .(14分)
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