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2019年编·人教版高中数学学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示：图217按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2D8n2【解析】观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an6n2.【答案】C2数列3,7，11,15，的通项公式可能是()Aan4n7Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1)Dan(1)n1(4n1)【解析】当数列中负项、正项交替出现时，用(1)n来控制；若是正项、负项交替出现，则用(1)n1来控制【答案】C3定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：图218那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A(1)，(2) B(1)，(3)C(2)，(4)D(1)，(4)【解析】由可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，A*D是(2)，A*C是(4)【答案】C4下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则sin(xy)sin xsin yC把(ab)n与(xy)n类比，则(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比，则(xy)zx(yz)【解析】A错误，因为logaxlogaylogaxy(x>0，y>0)；B错误，因为sin(xy)sin xcos ycos xsin y；C错误，如当n2时，若xy0，则(xy)2x22xyy2x2y2；D正确，类比的是加法、乘法的结合律【答案】D5给出下列等式：1×9211，12×93111，123×941 111，1 234×9511 111，12 345×96111 111，猜测123 456×97等于()A1 111 110B1 111 111C1 111 112D1 111 113【解析】由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.【答案】B二、填空题6已知 2· ，3·，4· ，.若8·(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则at_.【解析】由所给等式知，a8，t82163，at71.【答案】717设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_. 【导学号：60030050】【解析】f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，由此可推测一般性的结论为f(2n).【答案】f(2n)8对于命题“如果O是线段AB上一点，则| |·|·0”，将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBC·SOCA·SOBA·0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VOBCD·VOACD·VOABD·VOABC·0.【答案】VOBCD·VOACD·VOABD·VOABC·0三、解答题9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边(2)三角形的面积S×底×高(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论【解】由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)四面体的体积V×底面积×高(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图219(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形图219(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式【解】(1)f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25，f(5)254×441.(2)f(2)f(1)44×1，f(3)f(2)84×2，f(4)f(3)124×3，f(5)f(4)164×4，由上式规律得出f(n1)f(n)4n.f(2)f(1)4×1，f(3)f(2)4×2，f(4)f(3)4×3，f(n1)f(n2)4·(n2)，f(n)f(n1)4·(n1)f(n)f(1)412(n2)(n1)2(n1)·n，f(n)2n22n1.能力提升1观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2【解析】观察已知等式，第n个等式左边都是2n1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n1)2.由此可得一般结论为：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，故选B.【答案】B2已知x>0，由不等式x22，x33，我们可以得出推广结论：xn1(nN*)，则a()A2n Bn2C3nDnn【解析】x22，x33.由此猜想，xn1，n个所以ann，选D.【答案】D3在RtABC中，C90°，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径为r，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：_. 【导学号：60030051】【解析】利用类比推理，可把RtABC类比为三棱锥PABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PAa，PBb，PCc时，其外接球半径为R.【答案】在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PAa，PBb，PCc，则三棱锥PABC的外接球的半径为R4如图2110所示为m行m1列的士兵方阵(mN*，m2)图2110(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an9 900，问an是数列的第几项？【解】(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3,4,5，时的士兵人数分别为12,20,30，.故所求数列为6,12,20,30，.(2)因为a12×3，a23×4，a34×5，所以猜想an(n1)·(n2)，nN*.(3)a1011×12132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列
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