人教A版理科高考数学一轮细讲精练【选修41】几何证明选讲

选修41几何证明选讲A第1讲相似三角形的判定及有关性质最新考纲了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理知 识 梳 理1平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似(2)相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项如图，在RtABC中，CD是斜边上的高，则有CD2AD·BD，AC2AD·AB，BC2BD·AB. 诊 断 自 测1. 如图，已知abc，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，AB，则BC_.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案答案2.如图，ABCAFE，EF8，且ABC与AFE的相似比是32，则BC等于_解析ABCAFE，.又EF8，BC12.答案123. (2014·揭阳模拟)如图，BDAE，C90°，AB4，BC2，AD3，则EC_.解析在RtADB中，DB，依题意得，ADBACE，可得EC2.答案24.如图，C90°，A30°，E是AB中点，DEAB于E，则ADE与ABC的相似比是_解析E为AB中点，即AEAB，在RtABC中，A30°，ACAB，又RtAEDRtACB，相似比为.故ADE与ABC的相似比为1.答案15. (2014·湛江模拟)如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则_.解析如图，过点D作DGAF，交BC于点G，易得FGGC，又在BDG中，BEDE，即EF为BDG的中位线，故BFFG，因此.答案考点一平行截割定理的应用【例1】 如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为_解析由，又DF1，故可解得AF2，AD3，又，AB.答案规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果【训练1】 如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_解析如图，延长AD，BC交于一点O，作OHAB于点H.，得x2h1，得h1h2. S梯形ABFE×(34)×h2h2， S梯形EFCD×(23)×h1h1，S梯形ABFES梯形EFCD75.答案75考点二相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2FB·FC.证明E是RtACD斜边中点，EDEA，A1，12，2A，FDCCDB290°2，FBDACBA90°A，FBDFDC，F是公共角，FBDFDC，FD2FB·FC.规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等【训练2】 (2013·陕西卷)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_.解析PEBC，CPED，又CA，则有APED，又为公共角，所以PDEPEA，即PE2PD·PA2×36，故PE. 答案考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】 如图所示，AD、BE是ABC的两条高，DFAB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2GF·HF.证明HBAC90°，GBFBAC90°，HGBF.AFHGFB90°，AFHGFB.，AF·BFGF·HF.因为在RtABD中，FDAB，DF2AF·BF，所以DF2GF·HF.规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法【训练3】 如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB于点D， AD4，sinACD，则CD_，BC_.解析在RtADC中，AD4，sinACD，得AC5，CD3，又由射影定理AC2AD·AB，得AB.BDABAD4，由射影定理BC2BD·AB×，BC.答案3三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E，证明：(1)AC·BDAD·AB；(2)ACAE.审题视点 (1)根据待证等式可将各边回归到ACB，DAB中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明EADABD，再结合第(1)问结论得证证明(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即AC·BDAD·AB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD.又ADEBDA，得EADABD.从而，即AE·BDAD·AB.综合(1)的结论知，ACAE.反思感悟1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明EADABD，从而无法解答(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立2防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用【自主体验】(2013·江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD证明连接OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90°.又因为AA，所以RtADO RtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.一、填空题1如图，BD，CE是ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与ACE相似的三角形为_解析由RtACE与RtFCD和RtABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知BFEA，故RtACERtFBE.答案FCD、FBE、ABD2.(2014·西安模拟)如图，在ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么MON与AOC面积的比是_解析M，N分别是AB、BC中点，故MN綉AC，MONCOA，2.答案143.(2014·渭南模拟)如图，BD，AEBC，ACD90°，且AB6，AC4，AD12，则AE_.解析由于ACDAEB90°，BD，ABEADC，.又AC4，AD12，AB6，AE2.答案24.(2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF_.解析连接DE和BD，依题知，EBDC，EBDC，CBAB，EBCD为矩形，DEAB，又E是AB的中点，所以ABD为等腰三角形故ADDBa，E，F分别是AD，AB的中点，EFDBa.答案5已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，则AD_.解析如图，连接AC，CB，AB是O的直径，ACB90°.设ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2AD·DB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.答案96(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.解析在RtABC中，BC3，AB，所以BAC60°.因为BEAC，AB，所以AE，在EAD中，EAD30°，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AE·AD·cosEAD92××3×，故ED.答案7.(2014·茂名模拟)如图，已知ABEFCD，若AB4，CD12，则EF_.解析ABCDEF，4(BCBF)12BF，BC4BF，4，EF3.答案38.如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EFBC，若AD12，BC20，则EF_.解析EFADBC，OADOCB，OAOCADBC1220，OAECAB，OEBCOACA1232，EF2××2015.答案159(2012·广东卷)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.解析连接AO，AC，因为ABC30°，所以CAP30°，AOC60°，AOC为等边三角形，则ACP120°，APC30°，ACP为等腰三角形，且ACCP1，PA2×1×sin 60°.答案二、解答题10.如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BE·CD.证明(1)因为，所以ABCBCD.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BE·CD.11(2013·辽宁卷)如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD·BC.证明(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF.从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.同理可证RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AF·BF，所以EF2AD·BC.12.如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)ABCDCB；(2)DE·DCAE·BD.证明(1)四边形ABCD是等腰梯形，ACBD.ABDC，BCCB，ABCDCB.(2)ABCDCB.ACBDBC，ABCDCB.ADBC，DACACB，EADABC.DACDBC，EADDCB.EDAC，EDADAC.EDADBC，ADECBD.DEBDAECD.DE·DCAE·BD.第2讲直线与圆最新考纲1理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论2掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知 识 梳 理1圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数2弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角3圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PBPC·PD(2)ACPBDP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、PCD是O的割线(1)PA·PBPC·PD(2)PACPDB(1)求线段PA、PB、PC、PD(2)应用相似求AC、BD切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PB·PC(2)PABPCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理PA、PB是O的切线(1)PAPB(2)OPAOPB(1)证线段相等，已知PA求PB(2)求角5.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理1：圆内接四边形的对角互补定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆诊 断 自 测1.如图，ABC中，C90°，AB10，AC6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为_解析连接CP.由推论2知CPA90°，即CPAB，由射影定理知，AC2AP·AB.AP3.6，BPABAP6.4.答案6.42.如图，AB、AC是O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知BAC80°， 那么BDC_.解析连接OB、OC，则OBAB，OCAC，BOC180°BAC100°，BDCBOC50°.答案50°3.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交 于点P.若PB1，PD3，则的值为_解析ABCD为圆内接四边形，PBCADP，又PP，BCPDAP，.答案4. (2014·广州调研)如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB35°，则D_.解析连接BD，由题意知，ADBMAB35°，BDC90°，故ADCADBBDC125°.答案125°5如图所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径r_.解析设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的割线定理知，PA·PBPD·PC，1×3(3r)(3r)，则r.答案考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】 如图所示，O的直径为6，AB为O的直径，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求DAC的度数；(2)求线段AE的长解(1)由已知ADC是直角三角形，易知CAB30°，由于直线l与O相切，由弦切角定理知BCF30°，由DCAACBBCF180°，又ACB90°，知DCA60°，故在RtADC中，DAC30°.(1)(2)法一连接BE，如图(1)所示，EAB60°CBA，则RtABERtBAC，所以AEBC3.法二连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，DCECAE30°，又DCA60°，故ECA30°，(2)又因为CAB30°，故ECACAB，从而ECAO，由OCl，ADl，可得OCAE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OAOC，故四边形AOCE是菱形，故AEAO3.规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【训练1】 如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SAD·AE，求BAC的大小(1)证明由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACD是同弧所对的圆周角所以AEBACD.故ABEADC.(2)解因为ABEADC，所以，即AB·ACAD·AE又SAB·ACsinBAC，且SAD·AE，故AB·ACsinBACAD·AE，则sinBAC1.又BAC为ABC的内角，所以BAC90°.考点二与圆有关的比例线段【例2】 如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求证：(1)ADAE；(2)AD2DB·EC.证明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分线，故EPCAPD.又PA是O的切线，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PCEPAD；PAEPBD.又PA是切线，PBC是割线PA2PB·PC.故，又ADAE，故AD2DB·EC.规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理【训练2】 (2013·天津卷)如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，则线段CF的长为_解析由切割线定理得AE2EB·ED，解得EB4.因为ABAC，所以ABCACBADB.由弦切角定理得EABEDA，所以EABABC，则AEBC，因为ACBD，所以四边形AEBC是平行四边形所以AEBC6，ACEB4，又由题意可得CAFCBA，所以，CF.答案考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】 (2014·银川一中月考)如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小(1)证明连接OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180°.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，因为圆心O在PAC的内部，所以OPMAPM90°，所以OAMAPM90°.规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆【训练3】 如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，ABC60°，F在AC上，且AEAF.求证：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分DEF.证明(1)在ABC中，ABC60°，BACBCA120°.AD，CE分别是ABC的角平分线，HACHCA60°，AHC120°.EHDAHC120°.EBDEHD180°.B，D，H，E四点共圆(2)连接BH，则BH为ABC的平分线，EBHHBD30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，CEDHBD30°，HDEEBH30°.HEDHDE30°.AEAF，AD平分BAC，EFAD.又EHAHDECED60°，CEF30°.CE平分DEF.关于圆的综合应用【典例】 如图所示，已知O1和O2相交于A，B两点，过A点作O1的切线交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：ADEC；(2)若AD是O2的切线，且PA6，PC2，BD9，求AD的长审题视点(1)连接AB，在O1中使用弦切角定理，在O2中使用圆周角定理，即可证明DE；(2)根据切割线定理，只要求出BE的长度即可，在O2中根据相交弦定理可得BP·PE，根据(1)中ADPCEP，又可得BP，PE的一个方程，解方程组求出BP，PE的长度即可(1)证明连接AB，如图所示AC是O1的切线，BACD.又BACE.DE.ADEC.(2)解设BPx，PEy，PA6，PC2，xy12.根据(1)，可得ADPCEP，即，由，可得或(负值舍去)DE9xy16.AD是O2的切线，AD2DB·DE9×16.AD12.反思感悟 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把O2中两条待求的线段联系起来，发挥了相似三角形的桥梁作用在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向【自主体验】如图，梯形ABCD内接于O，ADBC，过B引O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.(1)求证：AB2AE·BC；(2)已知BC8，CD5，AF6，求EF的长(1)证明BE切O于B，ABEACB.又ADBC，EABABC，EABABC，.AB2AE·BC.(2)解由(1)EABABC，.又AEBC，.又ADBC，ABCD，EF.一、填空题1.如图，AB是O的直径，MN与O切于点C，ACBC，则sinMCA_.解析由弦切角定理得，MCAABC，sin ABC.答案2.如图，AB为O的直径，C为O上一点AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，DAB80°，则ACO_.解析CD是O的切线，OCCD，又ADCD，OCAD.由此得，ACOCAD，OCOA，CAOACO，CADCAO，故AC平分DAB.CAO40°，ACO40°.答案40°3.(2012·天津卷)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_解析因为AF·BFEF·CF，解得CF2，所以，即BD.设CDx，AD4x，所以4x2，所以x.答案4.如图，在ABC中，ABAC，C72°，O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC1，则AC_.解析由题易知，CABC72°，ADBC36°，所以BCDACB，所以BCACCDCB，又易知BDADBC，所以BC2CD·AC(ACBC)·AC，解得AC2.答案25.(2012·陕西卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DF·DB_.解析由题意知，AB6，AE1，BE5.CE·DEDE2AE·BE5.在RtDEB中，EFDB，由射影定理得DF·DBDE25.答案56.(2012·广东卷)如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB_.解析PB切O于点B，PBAACB.又PBADBA，DBAACB，ABDACB.，AB2AD·ACmn，AB.答案7.如图，O和O相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC2，BD4，则AB的长为_解析AC、AD分别是两圆的切线，C2，1D，ACBDAB.，AB2BC·BD2×48.AB2(舍去负值)答案28(2013·湖南卷)如图，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P，PAPB2，PD1，则圆心O到弦CD的距离为_解析根据相交弦定理求出PC的长，过O作弦CD的垂线由相交弦定理得PA·PBPC·PD.又PAPB2，PD1，则PC4，CDPCPD5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，OE.答案9.(2013·重庆卷)如图，在ABC中，ACB90°，A60°，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_解析在RtACB中，ACB90°，A60°，ABC30°.AB20，AC10，BC10.CD为切线，BCDA60°.BDC90°，BD15，CD5.由切割线定理得DC2DE·DB，即(5)215DE，DE5.答案5二、解答题10.如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DAB，ADCD.(1)求证：OCAD；(2)若AD2，AC，求AB的长(1)证明直线CD与O相切于点C，DCODCAACO90°，AOCO，OACACO，AC平分DAB，DACOAC，DACACO，OCAD.(2)解由(1)OCAD且OCDC，ADDC，即ADC90°，连接BC，AB是O的直径，ACB90°，ADCACB，又DACBAC，ADCACB，AD2，AC，AB.11.(2013·新课标全国卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径(1)证明如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得ABEBCE，而ABECBE，故CBEBCE，所以BECE.又因为DBBE，所以DE为圆的直径，DCE90°.由勾股定理可得DBDC.(2)解由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC边的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连接BO，则BOG60°，从而ABEBCECBE30°，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径为.12.如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FBFC；(2)求证：FB2FA·FD；(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120°，BC6 cm，求AD的长(1)证明因为AD平分EAC，所以EADDAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以DACFBC.因为EADFABFCB，所以FBCFCB，所以FBFC.(2)证明因为FABFCBFBC，AFBBFD，所以FBAFDB，所以，所以FB2FA·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以ACB90°，又EAC120°，所以ABC30°，DACEAC60°，因为BC6，所以ACBCtanABC2，所以AD4(cm)