新版数学学案同步精致讲义选修21北师大版：第二章　空间向量与立体几何 167;1 Word版含答案

新版数学北师大版精品资料§1从平面向量到空间向量学习目标1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念知识点一空间向量的概念思考1类比平面向量的概念，给出空间向量的概念答案在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量思考2若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？答案一定相同因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同梳理空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量(2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模(3)表示法(4)自由向量：与向量的起点无关的向量知识点二空间向量的夹角思考在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？答案0或.梳理空间向量的夹角(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作a，b(2)图形表示角度表示a，b0a，b是锐角a，b是直角a，b是钝角a，b(3)范围：0a，b.(4)空间向量的垂直：如果a，b，那么称a与b互相垂直，记作ab.知识点三向量与直线、平面1向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向如图所示l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线2向量与平面如图，如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是()A1B2C3D4考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案B解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有成立，故正确；显然正确故选B.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反跟踪训练1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：与；与；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n等于()A1B2C3D4考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案B解析对于与，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于与长度相等，方向不相反；对于与长度相等，方向相同故互为相反向量的有2对类型二求空间向量的夹角例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：(1)，；(2)，；(3)，考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的夹角解(1)由题意知，又CAB，故，.(2)，.(3)由题意知，.引申探究在本例中，求，解如图，连接B1C，则B1CA1D，且，连接AC，在ACB1中，因为ACAB1B1C，故AB1C，.反思与感悟求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向跟踪训练2如图，在正四面体ABCD中，的大小为()A.B.C.D.考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的夹角答案C解析取AB的中点O，连接OC，OD，易得OCAB，ODAB.OCODO，OC，OD?平面OCD，AB平面OCD，又CD?平面OCD，ABCD.得，.类型三直线的方向向量与平面法向量的理解例3已知正四面体ABCD.(1)过点A作出方向向量为的空间直线；(2)过点A作出平面BCD的一个法向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量解(1)如图，过点A作直线AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线(2)如图，取BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量反思与感悟直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面跟踪训练3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量解取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PMAB，且PMAB.所以四边形APMB为平行四边形，所以APBM，且APBM.又在四边形BQC1M中，BQC1M，且BQC1M，所以四边形BQC1M为平行四边形，所以BMC1Q，且BMC1Q，所以APC1Q，故为直线AP的一个方向向量1下列说法正确的是()A如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C向量模的大小与方向有关D向量的模可以比较大小考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案D解析两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确；任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确；向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，C不正确由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确2如图，在四棱柱的上底面ABCD中，则下列向量相等的是()A.与B.与C.与D.与考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案D解析因为，所以四边形ABCD为平行四边形所以，.3在正四面体ABCD中，O为平面BCD的中心，连接AO，则是平面BCD的一个_向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案法解析由四面体ABCD为正四面体，易知AO面BCD，故是平面BCD的一个法向量4在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_(填序号)；.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案5.如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为的所有向量；试写出与向量相等的所有向量；试写出向量的所有相反向量考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的定义与模解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，.向量的相反向量有，.在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合二者缺一不可给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线一、选择题1两个非零向量的模相等的是两个向量相等的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案B解析ab|a|b|；|a|b|ab.2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，以顶点为起点和终点的向量中，平面BB1C1C的法向量的个数为()A0B2C3D4考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案D解析依题意知，ACB90°，所以A1C1平面BB1C1C，AC平面BB1C1C，所以平面BB1C1C的法向量为，共4个3在四边形ABCD中，若，且|，则四边形ABCD为()A菱形B矩形C正方形D不确定考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案B解析若，则ABDC，且ABDC，所以四边形ABCD为平行四边形又|，即ACBD，所以四边形ABCD为矩形4下列有关平面法向量的说法中，不正确的是()A平面的法向量垂直于与平面平行的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面平行，则ab考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案D解析依据平面向量的概念可知，A，B，C都是正确的，由立体几何知识可得a，b不一定平行5如图，在正四面体ABCD中，等于()A45°B60°C90°D120°考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的夹角答案D解析两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角得，120°，故选D.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1D1和D1C1的中点，则，的大小为()A.B.C.D.考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的夹角答案B解析如图，连接A1C1，则A1C1MN，又因为B1C1BC，故，A1C1B1.二、填空题7如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC90°，PAAC，则在向量，中，夹角为90°的共有_对考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的夹角答案5解析因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC，PABC，又BCAB，PABC，PAABA，PA，AB?平面PAB，所以BC平面PAB，所以BCPB.由此知，都为90°.8下列说法正确的是_(填序号)两个长度相等的向量一定相等；零向量的方向是任意的；若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反；任何两个向量都不能比较大小考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案解析据题意知，只有正确9如图，在棱长都相等的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知A1AB60°，则，_，_，_.考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的夹角答案0°180°120°解析在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，且方向相同，所以，0°.因为ABCD，CDC1D1，所以ABC1D1，所以，但方向相反，所以，180°.因为，所以，180°A1AB120°.10在直三棱柱ABCABC中，已知AB5，AC3，BC4，CC4，则以该三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为_考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的定义和模答案8解析向量，及它们的相反向量的模都等于5.三、解答题11如图所示是棱长为1的正三棱柱ABCA1B1C1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量的相反向量；(3)若E是BB1的中点，写出与向量平行的向量考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量解(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量，(2)向量的相反向量为，.(3)取AA1的中点F，连接B1F(图略)，则，都是与平行的向量12如图，在三棱锥SBAC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，BAC90°，O是BC的中点，证明：是平面ABC的一个法向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量证明由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，故设SASBSCa，因为O是BC的中点，SBSC，所以SOBC.因为BAC90°，ABACa，AOBC，所以AOa.又SOa，SAa，所以ASO是等腰直角三角形，即SOOA.又OABCO，OA，BC?平面ABC，所以SO平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量13如图所示，在正四面体ABCD中，E是AC的中点，求与的夹角的余弦值考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的夹角解过E作EFCD交AD于F，连接BF.BEF为向量与的夹角的补角设正四面体的棱长为1，则BE，EF，BF.由余弦定理，得cosBEF.所以与所成的角的余弦值为.四、探究与拓展14给出以下命题：若ab，b与c的夹角是30°，则a与c的夹角也是30°；平面的所有法向量方向相同；若两个向量的起点相同，终点也相同，则这两个空间向量相等其中正确命题的序号是_答案解析命题，当a与b的方向相反时，a与c的夹角是150°，故错；命题，平面的法向量仅指垂直于平面的向量，它们的方向相同或相反，故错；命题，起点与终点相同的空间向量相等，故正确15如图，AB是圆O的直径，直线PA所在的向量是圆O所在平面的一个法向量，M是圆周上异于A，B的任意一点，ANPM，点N是垂足，求证：直线AN的方向向量是平面PMB的法向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量证明因为AB是圆O的直径，所以AMBM.又PA平面ABM，所以PABM.因为PAAMA，PA，AM?平面PAM，所以BM平面PAM.又AN?平面PAM，所以BMAN，又ANPM，且BMPMM，BM，PM?平面PBM，所以AN平面PBM.所以直线AN的方向向量是平面PMB的法向量