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第一步 考前必看八大提分笔记一、集合与常用逻辑用语1描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素如：x|ylg x函数的定义域；y|ylg x函数的值域；(x，y)|ylg x函数图象上的点集2集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性3遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样在应用条件ABBABAAB时，不要忽略A的情况4对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1,2n1,2n2.5注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍6“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论在否定条件或求结论时，应把“且”改成“或”，“或”改成“且”7要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.8要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”忽视互异性致误已知1a2，(a1)2，a23a3，求实数a的值错解由题意，得a21或(a1)21或a23a31，a1或a2或a0.错因分析当a2时，(a1)2a23a31，不符合集合元素的互异性；同理a1时，也不符合要求正解由题意得a21或(a1)21或a23a31.解得a1或a2或a0.又当a2时，(a1)2a23a31不符合集合中元素互异性这一特点故a2，同理a1，故只有a0.防范措施上述解法造成本题失分的主要原因是忽视了集合元素具有互异性的特征.在解此类问题时注意代入检验是防范失分的一个重要措施.补救训练1若A1,3，x，Bx2,1，且AB1,3，x，则这样的x为_答案±或0解析由已知得BA，x2A且x21.x23，得x±，都符合x2x，得x0或x1，而x1，x0.综合，共有3个值.忽视空集致误已知集合Ax|x23x100，Bx|m1x2m1，若ABA.求实数m的取值范围错解x23x100，2x5.Ax|2x5由ABA知BA，即3m3.m的取值范围是3m3.错因分析BA，B可以为非空集合，B也可以是空集漏掉对B的讨论，是本题的一个失分点正解ABA，BA.Ax|x23x100x|2x5若B，则m1>2m1，即m<2，故m<2时，ABA；若B，则m12m1，即m2.由BA，如图所示，得解得3m3.又m2，2m3.由知，当m3时，ABA.防范措施造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质当题目中出现AB，ABA，ABB时，注意对A进行分类讨论，即分为A和A两种情况讨论补救训练2已知集合Ax|x2(p2)x10，pR，若AR，则实数p的取值范围为_答案(4，)解析由于AR，先求AR的情况有即解得p4.故当AR时，p的取值范围是(4，).忽视集合运算中的边界点致误记f(x)的定义域为A，g(x)lg (xa1)(2ax)(a<1)的定义域为B.若BA，求实数a的取值范围错解1f(x)的定义域为A，则A(，1)1，)g(x)的定义域为B，则B(a1,2a)BA，a11或2a1.a0或a.错解2由20，得x<1或x1.A(，1)1，)由(xa1)(2ax)>0，得(xa1)(x2a)<0.且a<1，2a<x<a1.B(2a，a1)，BA，2a>1或 a1<1，a>或a<2.a(，2)错因分析错解1忽视对条件a<1的考虑；错解2忽视了界点，事实上：2a1或a11.正解20，0.x<1或x1，即A(，1)1，)(xa1)(2ax)>0，得(xa1)(x2a)<0.a<1，a1>2a，B(2a，a1)BA，2a1或a11，即a或a2，而a<1，a<1或a2.故当BA时，实数a的取值范围是(，2.防范措施对于错解1，解一元二次不等式时一定要将考虑抛物线的开口和含参数的讨论形成习惯.对于错解2，对于含参数的交、并、补集问题的运算，一定要注意界点.补救训练32015·太原一模已知全集UR，集合Mx|(x1)(x3)<0，Nx|x|1，则阴影部分表示的集合是()A1,1)B.(3,1C.(，3)1，)D.(3，1)答案D解析由题意可知，M(3,1)，N1,1，阴影部分表示的集合为M(UN)(3，1).对命题的否定不当致误 已知M是不等式0的解集且5M，则a的取值范围是_错解(，2)(5，)错因分析5M，把x5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：>0；5a250，答案中漏掉了第种情况正解解法一：5M，>0或5a250.a<2或a>5或a5，故填a5或a<2.解法二：若5M，则0，(a2)(a5)0且a5，2a<5.5M时，a<2或a5.答案(，2)5，)防范措施本题失分率高达56%，实质上当x5时，0不成立，即是对命题0的否定失分的原因就在于对命题的否定不当对于这类形式的命题的否定，一定要注意其否定为>0或ax250.当然，就本题而言，也可以先求出5M时的a的范围，再求其补集补救训练4已知集合M，若2M，则实数a的取值范围是_答案解析若2M，则<0，即(2a1)(2a21)<0，a<.当2M时，a的取值范围为a.错误理解简易逻辑中的概念致误 x2x2是xx2的_条件错解1由x2x2xx2x得出x2x2是xx2的充分条件错解2由xx2xx2x2得出x2x2是xx2的必要条件错因分析错解1中，事实上x2x2x；错解2中，xx2x.正解方程x2x2的解集为1,2，xx2的解集为0,2，但是1,20,2，且0,21,2，所以x2x2是xx2的既不充分也不必要条件答案 既不充分也不必要防范措施因为在错解1的推理过程中，当x1时“”左边成立，而右边不成立，所以这里“”不成立因为在错解2的推理过程中，当x0时“”左边成立，而右边不成立，所以这里“”不成立事实上，在推理过程中错误地进行了开方，方程两边同时相消，无理方程中忽略了被开方数的范围等等这是应该注意防范的补救训练52016·江西八校高三联考在ABC中，“··”是“|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析··bccosAaccosBbcosAacosBsinBcosAsinAcosBtanAtanBABab，故··是|的充要条件.二、函数与导数1函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多2求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏3用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题4分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数5判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响6弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0.“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件7求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替8函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减”(2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称；函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0(y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称9求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数(2)图象法：适合于己知或易作出图象的函数(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数(4)导数法：适合于可导函数(5)换元法(特别注意新元的范围)(6)分离常数法：适用于一次分式(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域10二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形11有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)f(xa)(a>0)，则f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a.12(1)指数运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr(a>0，b>0，r，sQ)(2)对数运算性质已知a>0且a1，b>0且b1，M>0，N>0.则loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM，对数换底公式：logaN.推论：logamNnlogaN；logab.(3)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax(a>0且a1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0)13幂函数yx(R)(1)若1，则yx，图象是直线当0时，yx01(x0)图象是除点(0,1)外的直线当0<<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的当>1时，在第一象限内，图象是下凸的(2)增减性：当>0时，在区间(0，)上，函数yx是增函数；当<0时，在区间(0，)上，函数yx是减函数14函数与方程(1)对于函数yf(x)，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点事实上，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根(2)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数yf(x)在区间a，b内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，此时这个c就是方程f(x)0的根反之不成立15求导数的方法(1)基本导数公式：c0(c为常数)；(xm)mxm1(mQ)；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ex)ex；(ax)axln a；(ln x)；(logax)(a>0且a1)(2)导数的四则运算：(u±v)u±v；(uv)uvuv；(v0)(3)复合函数的导数：yxyu·ux.如求f(axb)的导数，令uaxb，则(f(axb)f(u)·a.16函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)·(xx0)注意：过某点的切线不一定只有一条17利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)0，那么f(x)在该区间内为常函数注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0.增函数亦如此18导数为零的点并不一定是极值点，如：函数f(x)x3，有f(0)0，但x0不是极值点函数概念不清致误已知函数f(x23)lg ，求f(x)的定义域错解由>0，得x>2或x<2.函数f(x)的定义域为x|x>2或x<2错因分析错把lg 的定义域当成了f(x)的定义域正解由f(x23)lg ，设x23t，则x2t3，因此f(t)lg .>0，即x2>4，t3>4，即t>1.f(x)的定义域为x|x>1防范措施失分的原因是将f(x23)的定义域与f(x)的定义域等同起来了事实上，f(x23)lg与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错补救训练12016·河南郑州一模若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是_答案0,1)解析02x2，0x1，又x10，即x1，0x<1，即函数g(x)的定义域是0,1).分段函数的意义理解不准确致误函数f(x)在(，)上单调，则a的取值范围是_错解1若f(x)在R上单调递减，则有解得a<1；若f(x)在R上单调递增，则有解得a>1.错解2f(x)在R上单调，所以有解得a.错解3f(x)在R上单调，所以有解得1<a.错因分析对分段函数的意义理解不准确或情况考虑不全致误正解若函数在R上单调递减，则有解之得a；若函数在R上单调递增，则有解得1<a，故a的取值范围是(， (1，答案(，(1，防范措施上述错解1是对分段函数在R上单调的限制条件不全而造成失分；错解2、3简单的认为单调只是增或减，没有进行分情况讨论对此类问题的求解一定要考虑周全补救训练22016·陕西高三质检设函数f(x)则使得f(x)3成立的x的取值范围是_答案(，27解析当x8时，x3，x27，即8x27；当x<8时，2ex83恒成立，故x<8.综上，x(，27.忽视函数的定义域致误函数ylog (x25x6)的单调递增区间为_错解错因分析忽略了x25x6>0，即函数的定义域正解由x25x6>0知x|x>3或x<2令ux25x6，则ux25x6在(，2)上是减函数，ylog (x25x6)的单调增区间为(，2)答案(，2)防范措施本题失分的原因就在于忽略了函数的定义域这一隐含条件.在研究函数问题时，不论什么情况，首先研究函数的定义域，这是研究函数的一条最基本原则.补救训练32016·辽宁沈阳质检已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)<f的x的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，上单调递增，f(2x1)<f|2x1|<<x<.故选A.混淆“过点”和“切点”致误 求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程错解y3x22，ky|x13×1221.切线方程为：y1x1即xy20.错因分析错把(1，1)当切点正解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y3x2.切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y，即xy20，或5x4y10.防范措施过曲线上的点(1，1)的切线与曲线的切点可能是(1，1)，也可能不是(1，1).本题错误的根本原因就是把(1，1)当成了切点.解决这类题目时，一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.补救训练4已知函数f(x)aln x2axb，函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程是y2x1，则ab的值是_答案3解析因为f(x)2a，函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，所以f(1)a2，所以a2，f(x)2ln x4xb，由切线方程可得f(1)3，所以f(1)4b3，可得b1.所以ab3.极值的概念不清致误已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab_.错解由已知f(x)3x22axb，则解得a4，b11或a3，b3，故ab7或ab0.错因分析x1是f(x)的极值点f(1)0；忽视了“f(1)0x1是f(x)的极值点”的情况正解f(x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，得联立得或当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知a4，b11，ab7.答案7防范措施“函数yf(x)在xx0处的导数值为0”是“函数yf(x)在点xx0处取极值”的必要条件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数f(x)在xx0处取极值”的必要条件误作充要条件.对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，即f(x)在方程f(x)0的根x0的左右的符号：“左正右负”f(x)在x0处取极大值；“左负右正”f(x)在x0处取极小值，而不仅是f(x0)0.f(x0)0是x0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则易产生增根.补救训练52016·兰州质检函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则a的取值范围是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以>0，即36a24×3×3(a2)>0，解得a>2或a<1.即a的取值范围是(，1)(2，).函数零点求解讨论不全致误函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是()A.(，1 B(，01C.(，0)1 D(，1)错解若0，解得m1；若>0，则x1·x2<0，解得m<0，故选C.错因分析没有对m是否为零进行讨论正解当m0时，x为函数的零点；当m0时，若0，即m1时，x1是函数唯一的零点，若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根一个负根，即mf(0)<0，即m<0.故选B.答案B防范措施解决此类问题的关键是对参数的讨论要全面，对函数零点的定理使用要正确，如本题错解中忽略了对m0的讨论.补救训练62016·东三省联考已知在区间4,4上f(x)g(x)x2x2(4x4)，给出下列四个命题：函数yfg(x)有三个零点；函数ygf(x)有三个零点；函数yff(x)有六个零点；函数ygg(x)有且只有一个零点其中正确命题的个数是()A.1 B2C.3 D4答案D解析如图，画出f(x)，g(x)的草图设tg(x)，则由fg(x)0，得f(t)0，则tg(x)有三个不同值，由于yg(x)是减函数，所以fg(x)0有3个解，所以正确；设mf(x)，若gf(x)0，即g(m)0，则mx0(1,2)，所以f(x)x0(1,2)，由图象知对应f(x)x0(1,2)的解有3个，所以正确；设nf(x)，若ff(x)0，即f(n)0，nx1(3，2)或n0或nx22，而f(x)x1(3，2)有1个解，f(x)0对应有3个解，f(x)x22对应有2个解，所以ff(x)0共有6个解，所以正确；设sg(x)，若gg(x)0，即g(s)0，所以sx3(1,2)，则g(x)x3，因为yg(x)是减函数，所以方程g(x)x3只有1个解，所以正确.导数与单调性的关系理解不准致误 函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数，则a的取值范围是_错解由f(x)ax3x2x5得f(x)3ax22x1，由f(x)>0，得解得a>.错因分析f(x)在R上是增函数等价于f(x)0在R上恒成立漏掉了f(x)0的情况正解f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1，由f(x)0，得解得a.答案a防范措施f(x)>0(<0)(x(a，b)是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件.实际上，对可导函数f(x)而言，f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x(a，b)，有f(x)0(0)且f(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零.在解题时，若求单调区间，一般用充分条件即可.若由单调性求参数，一般用充要条件即f(x)0(或f(x)0)，否则容易漏解.补救训练7已知函数f(x)x22axln x在区间上是增函数，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.答案D解析因为函数f(x)在区间上是增函数，所以f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，易知yx在上单调递减，所以max，所以2a，解得a.选D.三、三角函数、解三角形、平面向量1终边与终边相同(的终边在终边所在的射线上)2k(kZ)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x，y)是的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r>0，那么sin，cos，tan(x0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角2正弦sinsinsinsincos余弦coscoscoscossin3三角函数的图象与性质(1)五点法作图；(2)对称轴：ysinx，xk，kZ；ycosx，xk，kZ；对称中心：ysinx，(k，0)，kZ；ycosx，kZ；ytanx，kZ.(3)单调区间：ysinx的增区间：(kZ)，减区间：(kZ)；ycosx的增区间：2k，2k(kZ)，减区间：2k，2k(kZ)；ytanx的增区间：(kZ)(4)周期性与奇偶性：ysinx的最小正周期为2，为奇函数；ycosx的最小正周期为2，为偶函数；ytanx的最小正周期为，为奇函数易错警示：求yAsin(x)的单调区间时，容易出现以下错误：(1)不注意的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；(2)忘掉写2k，或k等，忘掉写kZ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起如0,90°应写为.4两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(±)sincos±cossin.cos(±)coscossinsin.tan(±).sin22sincos.cos2，sin2，tan2.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：()，2()()，()()()，.5三角变换基本方法：化切为弦、降幂升幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名6解三角形(1)正弦定理：2R(R为三角形外接圆的半径)注意：正弦定理的一些变式：()abcsinAsinBsinC；()sinA，sinB，sinC；()a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍在ABC中A>BsinA>sinB.(2)余弦定理：a2b2c22bccosA，cosA等，常选用余弦定理判定三角形的形状7解三角形的实际应用问题注意区分俯角和仰角，方位角和方向角的不同8数0与零向量有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直，特别在书写时要注意，否则有质的不同9平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：；.(2)向量满足三角形不等式：|a|b|a±b|a|b|.(3)实数与向量a的积是一个向量，记为a，其长度和方向规定如下：|a|a|；>0，a与a同向；<0，a与a反向；0或a0，a0.(4)平面向量的两个重要定理向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底10向量的平行与垂直设a(x1，y1)，b(x2，y2)，且b0，则abbax1y2x2y10.ab(a0)a·b0x1x2y1y20.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同11当a·b0时，不一定得到ab，当ab时，a·b0；a·bc·b，不能得到ac，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行12向量的数量积|a|2a2a·a，a·b|a|b|cosx1x2y1y2，cos，a在b上的投影|a|cosa，b.注意：a，b为锐角a·b>0且a、b不同向；a，b为直角a·b0且a、b0；a，b为钝角a·b<0且a、b不反向13两向量夹角的范围为0，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价14向量a在向量b上的投影|a|cos是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零15几个向量常用结论(1)0P为ABC的重心；(2)···P为ABC的垂心；(3)向量(0)所在直线过ABC的内心；(4)|P为ABC的外心忽视角的范围致误已知sin，sin，且，为锐角，则_.错解、为锐角，cos，cos.sin()sincoscossin××.又0<<.或.错因分析错解中没有注意到0<<，对于正弦值可能会有两个解，而利用余弦求解，利用正负关系即可判断正解因为，为锐角，所以cos，cos.所以cos()coscossinsin××.又因为0<<，所以.答案防范措施对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，)中角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos()来避免增解.补救训练12016·嘉兴测试已知为钝角，sin，则sin_.答案解析cossincos，因为为钝角，即<<<<，所以sin<0，则sin.三角函数图象平移致误函数y3sin的图象可由函数y3sin2x的图象()A.向左平移个单位长度得到B.向右平移个单位长度得到C.向左平移个单位长度得到D.向右平移个单位长度得到错解A错因分析在三角函数图象变换时，对于先进行伸缩变换再进行平移变换的平移量搞错正解y3sin3sin，只需将y3sin2x的x换成x即可y3sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y3sin的图象答案C防范措施三角函数图象变换时，由f(x)f(x±a)(a>0)是左加右减，即xa是f(x)向左平移a个单位，xa是f(x)向右平移a个单位我们所说的平移多少是对x说的，即“对x说话”解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩在平移时，如x有系数，则先写成(x)的形式补救训练2将函数h(x)2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象()A.关于直线x0对称B.关于直线x1对称C.关于(1,0)点对称D.关于(0,1)点对称答案D解析依题意，将h(x)2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后得y2sin2x2，即f(x)2sin2的图象，又h(x)f(x)2，函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称.三角函数的单调性判断致误函数ysin的单调区间是_错解函数ysin的单调递增区间为2kx2k，解得3kx3k；单调递减区间为2k2k，解得3kx3k，其中kZ.错因分析受思维定势，按函数ysin的单调区间的判断方法求解正解原函数变形为ysin，令u，则只需求ysinu的单调区间即可，所以ysinu在2k2k(kZ)，即3kx3k(kZ)上单调递增；ysinu在2k2k(kZ)，即3kx3k(kZ)上单调递减故ysinsinu的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为，(kZ)答案单调增区间为(kZ)，单调减区间为(kZ)防范措施当题目涉及f(x)Asin(x)的性质时，要将x视为整体，再与ysinx的相关性质对应，同时注意与零的大小.补救训练32016·海口调研已知函数f(x)sin2(x)(>0)的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为()A. B.C. D.答案D解析依题意得f(x)cos2x，最小正周期T，2，f(x)cos4x，将f(x)cos4x的图象向右平移a个单位后得到的是函数g(x)cos4(xa)的图象. 又函数g(x)的图象关于原点对称，因此有g(0)cos4a0,4ak，kZ，即a，kZ，因此正实数a的最小值是，选D.解三角形多解、漏解致误在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a1，c.(1)若C，求A；(2)若A，求b.错解(1)在ABC中，sinA，A或.(2)由，得sinC.C，由C知B，b2.错因分析在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sinA后，得出角A或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sinC，只得出角C，所以角B，解得b2.这样就出现丢解的错误正解(1)由正弦定理得，即sinA.又a<c，A<C，0<A<，A.(2)由，得sinC.C或.当C时，B，b2；当C时，B，b1.综上所述，b2或b1.防范措施 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系.补救训练42016·郑州质检在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2Ccos2A2sinsin.(1)求角A的值；(2)若a且ba，求2bc的取值范围解(1)由已知得2sin2A2sin2C2，化简得sinA，故A或.(2)由正弦定理2，得b2sinB，c2sinC，故2bc4sinB2sinC4sinB2sin3sinBcosB2sin.因为ba，所以B<，B<.所以2bc2sin，2).向量夹角定义不明致误已知等边ABC的边长为1，则···_.错解ABC为等边三角形，|1，向量、间的夹角均为60°.···.···.错因分析数量积的定义a·b|a|·|b|·cos，这里是a与b的夹角，本题中与夹角不是C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图与的夹角应是ACD.正解如图与的夹角应是ACB的补角ACD，即180°ACB120°.又|1，所以·|cos120°.同理得··.故···.答案防范措施在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误.平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质变成纯三角问题.补救训练52016·南昌一模已知ABC中，ABAC，BC4，BAC90°，3，若P是BC边上的动点，则·的取值范围是_答案2,6解析因为ABAC，BC4，BAC90°，所以ABC45°，AB2.又因为3，所以，设t，则0t1，t，所以·(t)·2t··t28t×4×2cos135°×4×2cos135°t×4224t.因为0t1，所以224t6，即·的取值范围是2,6.忽略向量共线致误已知a(2,1)，b(，1)，R，a与b的夹角为.若为锐角，则的取值范围是_错解cos，因为锐角，有cos>0，>021>0，得>，的取值范围是.错因分析当向量a，b同向时，0，cos1满足cos>0，但不是锐角正解因为锐角，有0<cos<1且a与b不共线又cos，解得的取值范围是.答案防范措施在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为，则：为锐角a·b>0且a，b不同向；为直角a·b0；为钝角a·b<0且a，b不反向.补救训练6设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为.若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的范围解2te17e2与e1te2的夹角为钝角，(2te17e2)·(e1te2)<0且2te17e2(e1te2)(<0)由(2te17e2)·(e1te2)<0得2t215t7<0，7<t<.若2te17e2(e1te2)(<0)，(2t)e1(7t)e20.即t.t的取值范围为7<t<且t.四、数列、不等式1数列的概念(1)数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式(2)前n项和Sna1a2a3an，an2等差数列的有关概念(1)等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数)或an1ananan1(n2)(2)等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d.(3)等差数列的前n项和：Sn，Snna1d.(4)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A.3等差数列的性质(1)当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Snna1dn2n是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d0，则为常数列(3)当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.4等比数列的有关概念(1)等比数列的判断方法：定义法q(q为常数)，其中q0，an0或(n2)(2)等比数列的通项：ana1qn1或anamqnm.(3)等比数列的前n项和：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要分q1和q1两种情形讨论求解(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±.5等比数列的性质当mnpq时，则有am·anap·aq，特别地，当mn2p时，则有am·ana.6数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法如：；.7在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示8不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错9两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行10含参数不等式求解的通法是“定义域是前提，函数增减性是基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集11利用基本不等式ab2以及变式ab2等求函数的最值时，务必注意a，bR(或a，b非负)，ab或ab应是定值，特别要注意等号成立的条件12解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解数列an与Sn的关系不清致误已知数列an的前n项之和为Snn2n1，则数列an的通项公式为_错解an2n错因分析若an2n，则a12，事实上a1S13.正解当n1时，a1S13；当n2时，ann2n1(n1)2(n1)12n，an答案an防范措施本题的失分原因是没有注意到anSnSn1是在n2的条件下才能成立这是由于对数列概念理解不透彻所致在解关于由Sn求an的题目时，按两步进行讨论，可避免出错当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1.检验a1是否适合由求得的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用分段函数：an来表达补救训练1已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2Sn·Sn10(n2，nN*)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由an2Sn·Sn10(n2，nN*)，得SnSn12Sn·Sn10，所以2(n2，nN*)，故是等差数列(2)由(1)知，2n，故Sn，anSnSn1(n2，nN*)，所以an忽视等比数列中q的分类讨论致误设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列的公比q是_错解由S3S6S9得q9q6q310，即(q61)(q31)0q1，q61，q1.错因分析当q1时，符合要求很多考生在做本题时都想当然地认为q1.正解当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q1时，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1防范措施在表示等比数列an的前n项和时，考生只想到Sn，把q1的情况不自觉地排除在外，这是对前n项和公式理解不透彻所致解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论，这是防止出错的一个很好方法补救训练22016·湖北八校联考在等比数列an中，a3，S3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2，且bn为递增数列，若cn，求证：c1c2c3cn<.解(1)设等比数列an的公比为q，则由题意得S3a1a2a3，解得q1或q，当q1时，an；当q1时，a16，an6·n1.(2)证明：bn为递增数列，an6·n1，a2n16·n，bn2n，cn，c1c2c3cn<.数列求最值忽略n的限制条件致误已知数列an的通项公式为an(n2)·n(nN*)，则数列an的最大项是()A第6项或第7项 B第7项或第8项C第8项或第9项 D第7项错解因为an1an(n3)n1(n2)·nn·，当n<7时，an1an>0，即an1>an；当n7时，an1an0，即an1an，当n>7时，an1an<0，即an1<an，故a7最大，选D.错因分析忽略了a70，a7a8.正解因为an1
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