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单元质检七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(20xx河南洛阳二模)已知条件p:x>1,q:<1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确3.(20xx天津,理2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为()A.-4B.6C.10D.174.用数学归纳法证明“1+2+22+=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为()A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+235.(20xx北京,理8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6.已知x,y满足约束条件当且仅当x=y=4时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是()A.-1,1B.(-,1)C.(0,1)D.(-,1)(1,+)7.不等式>0对满足a>b>c恒成立,则的取值范围是()A.(-,0B.(-,1)C.(-,4)D.(4,+)8.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.D.n2+n+19.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件10.(20xx河南信阳、三门峡一模)已知O为坐标原点,M(x,y)为不等式组表示的平面区域内的动点,点A的坐标为(2,1),则z=的最大值为()A.2B.4C.1D.311.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.B.C.D.12.已知任意非零实数x,y满足3x2+4xy(x2+y2)恒成立,则实数的最小值为()A.4B.5C.D.导学号37270585二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是. 14.(20xx河南驻马店期末)已知f(x)=lg(100x+1)-x,则f(x)的最小值为. 15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,xn,都有f.若y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.导学号37270586 16.(20xx山西太原三模)已知实数x,y满足约束条件则23x+2y的最大值是. 参考答案单元质检七不等式、推理与证明1.A解析 由x>1,推出<1,故p是q的充分条件;由<1,得<0,解得x<0或x>1.故p不是q的必要条件,故选A.2.C解析 因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.3.B解析 作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,如图三角形ABC及其内部区域,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).将z=2x+5y变形为y=-x+,可知当y=-x+经过点B时,z取最小值6.故选B.4.D解析 当n=1时,左边=1+2+22+23.5.B解析 若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.6.B解析 作出约束条件所对应的平面区域如图阴影部分.目标函数z=ax-y可化为y=ax-z,可知直线y=ax-z的斜率为a,在y轴上的截距为-z.z=ax-y仅在点A(4,4)处取得最小值,斜率a<1,即实数a的取值范围为(-,1),故选B.7.C解析 变形得<(a-c)·=(a-b)+(b-c)·=1+1,而1+14(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则<4.故选C.8.C解析 1条直线将平面分成1+1=2个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+n)=1+个区域,故选C.9.B解析 设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=2=20,当且仅当(x>0),即x=80时等号成立,故选B.10.C解析 作出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分.因为z=(2,1)·(x-2,y-1)=2x-4+y-1=2x+y-5,又z=2x+y-5可化为直线y=-2x+z+5,所以由图可知,当直线y=-2x+z+5过A(2,2)时,直线在y轴上的截距最大,此时z的最大值为1,故选C.11.C解析 若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故推不出;若a=b=1,则a+b=2,故推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故推不出;对于,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,用反证法证明:假设a1,且b1,则a+b2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,即a,b中至少有一个大于1.故能推出.因此选C.12.A解析 依题意,得3x2+4xy3x2+x2+(2y)2=4(x2+y2)(当且仅当x=2y时等号成立).因此有4,当且仅当x=2y时等号成立,即的最大值是4,结合题意得,故4,即的最小值是4.13.F+V-E=2解析 三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.14.lg 2解析 f(x)=lg(100x+1)-x=lg =lg(10x+1)lg 2,当且仅当x=0时等号成立,f(x)的最小值为lg 2.15.解析 由题意知,凸函数f (x)满足f,又y=sin x在区间(0,)上是凸函数,故sin A+sin B+sin C3sin =3sin .16.32解析 设z=3x+2y,由z=3x+2y得y=-x+.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分,由图象可知当直线y=-x+经过点B时,直线y=-x+在y轴上的截距最大,此时z也最大.由解得即B(1,1).故zmax=3×1+2×1=5,则23x+2y的最大值是25=32.
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