北师大版数学必修四：两角和与差的三角函数的应用导学案含解析

2019学年北师大版数学精品资料第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(-):=cos cos +sin sin ;C(+):=cos cos -sin sin ;S(-):sin(+)=;S(+):sin(-)=;T(-):tan(-)=;T(+):tan(+)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan +tan =;tan -tan =;(2)tan tan =1-=-1;(3)tan(+)-(tan +tan )=;(4)tan(-)-(tan -tan )=.问题3:常用的角的变换形式=-=-;=12(+)+=12(+)-;12(+)=(-12)-(12-);-=+(-).其中、为任意角.问题4:辅助角公式asin +bcos =a2+b2sin(+)=a2+b2cos(-),其中角、称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan =ba,tan =ab).1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值为().A.-32B.-12C.12D.322.若02,-20,cos(4+)=13,cos(4-2)=33,则cos(+2)=().A.33B.-33C.539D.-693.已知cos(+4)=13,(0,2),则cos =.4.若3sin x-3cos x=23sin(x+),(-,),求的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:sin7+cos15sin8cos7-sin15sin8;(2)求值:2sin 50+sin 10(1+3tan 10)2sin280.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角ABC中,sin(A+B)=35,sin(A-B)=15.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知、都是锐角,且sin =55,sin =1010,求+.计算sin 43cos 13-sin 13cos 43的值等于().A.12B.33C.22D.32在ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=55,sin B=1010,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(+75)+cos(+45)-3cos(+15)的值等于().A.0B.12C.32D.-122.已知cos(x-6)=-33,则cos x+cos(x-3)的值是().A.-233B.233C.-1D.13.在ABC中,角A、B、C满足3sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A,则cos A=.4.已知0434,cos(4-)=35,sin(34+)=513,求sin(+)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是210和255.(1)求tan(+)的值;(2)求+2的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(-):=cos cos +sin sin ;C(+):=cos cos -sin sin ;S(-):sin(+)=;S(+):sin(-)=;T(-):tan(-)=;T(+):tan(+)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan +tan =;tan -tan =;(2)tan tan =1-=-1;(3)tan(+)-(tan +tan )=;(4)tan(-)-(tan -tan )=.问题3:常用的角的变换形式=-=-;=12(+)+=12(+)-;12(+)=(-12)-(12-);-=+(-).其中、为任意角.问题4:辅助角公式asin +bcos =a2+b2sin(+)=a2+b2cos(-),其中角、称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan =ba,tan =ab).1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值为().A.-32B.-12C.12D.322.若02,-20,cos(4+)=13,cos(4-2)=33,则cos(+2)=().A.33B.-33C.539D.-693.已知cos(+4)=13,(0,2),则cos =.4.若3sin x-3cos x=23sin(x+),(-,),求的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:sin7+cos15sin8cos7-sin15sin8;(2)求值:2sin 50+sin 10(1+3tan 10)2sin280.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角ABC中,sin(A+B)=35,sin(A-B)=15.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知、都是锐角,且sin =55,sin =1010,求+.计算sin 43cos 13-sin 13cos 43的值等于().A.12B.33C.22D.32在ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=55,sin B=1010,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(+75)+cos(+45)-3cos(+15)的值等于().A.0B.12C.32D.-122.已知cos(x-6)=-33,则cos x+cos(x-3)的值是().A.-233B.233C.-1D.13.在ABC中,角A、B、C满足3sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A,则cos A=.4.已知0434,cos(4-)=35,sin(34+)=513,求sin(+)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是210和255.(1)求tan(+)的值;(2)求+2的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(-):=cos cos +sin sin ;C(+):=cos cos -sin sin ;S(-):sin(+)=;S(+):sin(-)=;T(-):tan(-)=;T(+):tan(+)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan +tan =;tan -tan =;(2)tan tan =1-=-1;(3)tan(+)-(tan +tan )=;(4)tan(-)-(tan -tan )=.问题3:常用的角的变换形式=-=-;=12(+)+=12(+)-;12(+)=(-12)-(12-);-=+(-).其中、为任意角.问题4:辅助角公式asin +bcos =a2+b2sin(+)=a2+b2cos(-),其中角、称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan =ba,tan =ab).1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值为().A.-32B.-12C.12D.322.若02,-20,cos(4+)=13,cos(4-2)=33,则cos(+2)=().A.33B.-33C.539D.-693.已知cos(+4)=13,(0,2),则cos =.4.若3sin x-3cos x=23sin(x+),(-,),求的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:sin7+cos15sin8cos7-sin15sin8;(2)求值:2sin 50+sin 10(1+3tan 10)2sin280.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角ABC中,sin(A+B)=35,sin(A-B)=15.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知、都是锐角,且sin =55,sin =1010,求+.计算sin 43cos 13-sin 13cos 43的值等于().A.12B.33C.22D.32在ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=55,sin B=1010,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(+75)+cos(+45)-3cos(+15)的值等于().A.0B.12C.32D.-122.已知cos(x-6)=-33,则cos x+cos(x-3)的值是().A.-233B.233C.-1D.13.在ABC中,角A、B、C满足3sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A,则cos A=.4.已知0434,cos(4-)=35,sin(34+)=513,求sin(+)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是210和255.(1)求tan(+)的值;(2)求+2的值.考题变式(我来改编):答案第4课时两角和与差的三角函数的应用知识体系梳理问题1:cos(-)cos(+)sin cos +cos sin sin cos -cos sin tan-tan1+tantantan+tan1-tantan问题2:(1)tan(+)(1-tan tan )tan(-)(1+tan tan )(2)tan+tantan(+)tan-tantan(-)(3)tan(+)tan tan (4)-tan(-)tan tan 问题3:(+)(-)(-)(-)(-)基础学习交流1.C原式=sin 45cos 15-cos 45sin 15=sin(45-15)=12.2.Ccos(+2)=cos(4+)-(4-2)=cos(4+)cos(4-2)+sin(4+)sin(4-2),而4+(4,34),4-2(4,2),sin(4+)=223,sin(4-2)=63,cos(+2)=1333+22363=539.3.4+26(0,2),+4(4,34),sin(+4)=223,cos =cos(+4)-4=cos(+4)cos4+sin(+4)sin4=1322+22322=4+26.4.解:3sin x-3cos x=23(32sin x-12cos x)=23sin(x-6),又(-,),=-6.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式=sin(15-8)+cos15sin8cos(15-8)-sin15sin8=sin15cos8cos15cos8=tan 15=tan(60-45)=tan60-tan451+tan60tan45=3-11+3=2-3.(2)原式=(2sin 50+sin 10cos10+3sin10cos10)2sin 80=(2sin 50+2sin 1012cos10+32sin10cos10)2cos 10=22sin 50cos 10+sin 10cos(60-10)=22sin(50+10)=2232=6.【小结】对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:化为特殊角的三角函数值;化为正、负相消的项,消去求值;化分子、分母出现公约数进行约分求值.探究二:【解析】(1)sin(A+B)=35,sin(A-B)=15,sinAcosB+cosAsinB=35,sinAcosB-cosAsinB=15sinAcosB=25,cosAsinB=15tanAtanB=sinAcosBcosAsinB=2,tan A=2tan B.(2)2A+B,sin(A+B)=35, tan(A+B)=-34,即tanA+tanB1-tanAtanB=-34,将tan A=2tan B代入上式并整理,得2tan2B-4tan B-1=0,解得tan B=262,舍去负值,得tan B=2+62, tan A=2tan B=2+6.设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=CDtanA+CDtanB=3CD2+6,由AB=3,得CD=2+6, AB边上的高等于2+6.【小结】利用三角函数公式解三角形问题时,不仅要考虑使公式本身有意义的角度范围,还要考虑三角形内角需满足的要求.探究三:【错解】02,02, 0+,又cos =255,cos =31010,sin(+)=sin cos +cos sin =5531010+2551010=22,又 0+, +=4或34.问题+会等于34吗?结论通过求三角函数值求角度时,最好求角度范围内是单调函数的三角函数值,可避免进一步讨论或出错.+34,、都是锐角,sin =5522,sin =101022,04,04,0+2.于是,正确解答如下:02,02, 0+,又cos =255,cos =31010,cos(+)=cos cos -sin sin =25531010-551010=22.又在0之间,余弦值为22的角只有4,+=4.思维拓展应用应用一:A原式=sin(43-13)=sin 30=12,故选A.应用二:A根据韦达定理,有tan A+tan B=-83,tan Atan B=-13,则tan C=tan-(A+B)=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=2.应用三:A、B均为钝角且sin A=55,sin B=1010,cos A=-1-sin2A=-25=-255,cos B=-1-sin2B=-310=-31010.cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=-255(-31010)-551010=22.又2A,2B,A+B2.由,知A+B=74.基础智能检测1.A原式=sin(+45)+30+cos(+45)-3cos(+45)-30=32sin(+45)+12cos(+45)+cos(+45)-32cos(+45)-32sin(+45)=0.2.Ccos x+cos(x-3)=cos x+12cos x+32sin x=32cos x+32sin x=3(32cos x+12sin x)=3cos(x-6)=-1.3.333sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A3sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,又sin B0,所以cos A=33.4.解:0434,24+,3434+.又cos(4-)=sin(4+)=35,cos(4+)=-1-sin2(4+)=-45,cos(34+)=-1-sin2(34+)=-1213.sin+(+)=sin(4+)+(34+)=sin(4+)cos(34+)+cos(4+)sin(34+)=35(-1213)-45513=-5665.sin(+)=5665.全新视角拓展(1)由单位圆中三角函数的定义,可得cos =210,cos =255.由于,为锐角,所以sin =1-cos2=7210,sin =1-cos2=55.从而tan =7,tan =12,所以tan(+)=tan+tan1-tantan=7+121-72=-3.(2)因为tan(+2)=tan(+)+=tan(+)+tan1-tan(+)tan=-3+121+32=-1,又02,02,所以0+232,从而+2=34.思维导图构建a2+b2sin(x+)a2+b2cos(x-)