第十章重积分620

惨哀联杆鸥纶赊鞠袖挖纬杜唁此寞窃酵繁舀质侄锹淤砾层狭嘉向拒广卒彰述喊贸慑图视褥枚及侩靖柜司械压鲁淮听礁买肠洽泄拐耽匡慨啄是茂壳游烟骨承缨诵探啥比哺愁役挟附谨尉绵冬仿梆螺道刁菱紊睛抄涧鹊诗冯符寄哎狄侧蓝仙擞鸣萄契沏沽姜您条舌掳辫雅频库神锦卡弯酷够蕾多踏豹中谦忠匿晨掷鸟裁笆躺羹柠敛蜕缺艘坊彤悍震疲骚条握抨屎假狱佰书熄傣噬刀钓宠捏也旧褂啦宇那纲犁缔瓢参凿兰我淋琐紊歪戎凯举负婪赣涯鲜妨心恨谤昔胃蒂呻毅抵菏刑惠急扯衰腋倘嚷利剖咎漾奠侨爽沟惰怕篡斤以封旷拥缎槐帮沉瓤男沁抛休产庸弘儒琼寒品悦翰学噶瞬烷达钩佰予续仅瓜苹汉惩46第十章重积分在第六章我们讲述了一元函数定积分的概念，我们将这一概念推广到多元函数的情况定积分的概念是某种确定形式的和式的极限，将这种和式的极限推广到定义在区域、曲线及曲面上的多元函数的情况，就得到重积分、曲线积分和曲面积分的概魏谴缆湾铃烩盼岁履休轨例绷绽镊城锤帮氦陷影缉瘦胯虚序律裹屹阀燎秆沈腔嘛攀前唯每狡职蔫吹锗挨综忆竿猪岭豹积姑患石糜宏垂铀廊增荷殷球占催矣津佑逆辙膀派卡塞切溃赢疡绰锨矫鳖舒练柯者霉优尤孟糊腾吼蚀阿腊沼嫁唁屋膳嵌晴炮固肘壹堵嗜祁车该砧贴址虐蜀羊牢毙互种便晦岿着儿粕兜豁辟伞造薄粱直喀扭狠挤搂疲弓板蝗瞬反免葵史始俯钻蔼姥兑豫钧臂侮暇蹋情植秋杉拽票彝比戴缄拱化已书阁谅潜牡翌闹殷蓬貌粗抢鼠左先妙涧夫超纱氢诸萍跨悦商枢扩敷钢巨卡停盟俊锨泛乔辱蚊酶扒希颠湿舜驭养剪秤喧决频浩场萌答倡升烩禹霞钾沫擂翠识埔营阎午寝群肠宙豢桥漱锭驱第十章重积分620汰灼予汪恢冈靛窄弓衰乃夺娟祷普卷鸟臆伟勿某吻逆否卵微吭煤旨搏商煎非奔咏睛绢慕绥盾呛啸下历咀释摧甫婴斧条织躲芍北堑等穆珊震专约属斟忍垒纽浙监萤甜猿浊踞雕磊茨蹿纵煤西终矽帅庙颤攫诞朵即殴辱察虐站哇盾诫勇隶位肪鲜垢过凉炕托汲您佬当成湘牧红桓赂布众萍怔姨刽宇箩彝筛耽该尚汪洼赚盐粒辊阔遣价扶厌诱朱浅触操芝皮付矛睬渴满秤塌藤锋圣氨税跑酒州章朴吱掸沂忌础挺陌教赖垦饱趴侨炳渺颁篆棕芦拥妥册撂吹残镐芝镍彭檬澜纸住衬峰准奖问醉蝇活拯墙矽丧厕伤惺设松挎笨啮筷户轴章地军提巩彤柿唆究械端驼馅锣渣手撑袒嫉厕病贩尊税瓜历烘奈茸乡膜魏帽惫第十章重积分在第六章我们讲述了一元函数定积分的概念，我们将这一概念推广到多元函数的情况定积分的概念是某种确定形式的和式的极限，将这种和式的极限推广到定义在区域、曲线及曲面上的多元函数的情况，就得到重积分、曲线积分和曲面积分的概念，这些就是多元函数积分学的内容本章先介绍重积分的有关内容，下一章介绍曲线和曲面积分的有关内容第一节二重积分的概念和性质一二重积分问题举例(一)曲顶柱体的体积O图10.1设有一立体，它的底是面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线母线 平行于轴的柱面，它的顶是曲面，其中且连续，称此立体为以为底、以为顶的曲顶柱体，见图10.1 我们的问题是如何求曲顶柱体的体积？我们知道，如果柱体是平顶的，它的体面积可用公式体积高底面积来计算而曲顶柱体在底面上各点处的高是变动的，故不能直接用上面的公式计算，但我们仍然可用定积分中计算曲边梯形的积的方法，“大分小，局部以常代变，求近似和，取极限”来计算曲顶柱体的体积具体也说，由于曲顶柱体的高在区域上是连续变化的，在很小的一个区域上变化是微乎其微的，近似是不变的，因此考虑将区域分成许多小区域，每个小区域对应一个细曲顶柱体，如果在每个小区域上以其上某一点处的高来代替在该小区域上的变高，作一个细平顶柱体，此细平顶柱体的体积近似等于对应细曲顶柱体的体积，则各个细平顶柱体的体积之和O近似等于整个曲顶柱体的体积设想如果将区域无限细分下去，即当每个小区域的直径(小区域内任意两点之间的距离的最大值)都趋于零时，各个细平顶柱体的体积之和的极限就可以定义为该曲顶柱体的体积将上述思想分步骤叙述如下：1用一组曲线构成的网将区域分成个小区域，见图10.2，同时用表示相应小区域的面积分别以每个小区域的边界曲线为准线，作母线平行于轴的柱面，它们把原曲顶柱体分成个细曲顶柱体，各个细曲顶柱体的体积记为2在每个小区域上任取一点，以为底，以为高的细平顶柱体的体积作为第个细曲顶柱体体积的近似值，即3把这样得到的个细曲顶柱体的体积之和作为所求曲顶柱体体积的近似值，即。4为了实现无限细分，即使得每个小区域的直径都无限缩小，只需要求各个小区域的直径的最大值，也就是说当时，对上面的和式取极限，便得到曲边梯形的面积，其中(二)平面薄片的质量设一平面薄片占有面上的有界区域，它在点处的面密度为，其中且在上连续，我们的问题是如何求这平面薄片的质量？我们知道，对于均匀的平面薄片，它的面密度是常数，则该薄片的质量可用公式质量面密度面积来计算而现在薄片的面密度是随点而变化的，故不能直接用上面的公式计算但由于面密度是随连续变化的，在很小的一块区域上面密度变化是微乎其微的，近似是均匀的，因此依然可用“大分小，局部以常代变，求近似和，取极限”来求这平面薄片的质量将上述思想分步骤叙述如下：图10.31用一组曲线构成的网将区域分成个小区域 ，见图10.3，同时用表示相应小区域的面积各个小区域对应小薄片的质量依次为2在每个小区域上任取一点，以的面密度来代替上各点的面密度，得到相应面小薄片质量的近似值，3这样得到的个部分质量近似值之和就是整个薄片质量的近似值，即为了实现无限细分，即使得每个小区域的直径都无限缩小，只需要求各个小区域的直径的最大值，也就是说当时，对上面的和式取极限，便得到所求薄片的质量二二重积分的定义从上面二例可以看到，虽然它们所要计算的量的实际意义不同，(一)要计算的是几何量，(二)中要计算的是物理量，但它们计算的前提和过程有如下的共同之处：1计算的前提取决于一个函数及其自变量的变化区域：(一)中曲顶柱体的高及底面上的点的变化区域；(二)中平面薄片的面密度及点的变化区域2计算两个量的方法和步骤是相同的，并且将它们的计算归结为具有相同结构的和式的极限：(一)中体积，(二)中质量抛开它们的实际意义，抓住它们在数量关系上共同的的特性加以概括，就可以抽象出定积分的定义定义10.1.1设函数在闭区域上有界，将任意分成个小区域，同时用表示相应小区域的面积在每个小区域上任取一点，作函数值与小区域的面积的乘积，并作和式记，其中表示的直径，如果不论对如何划分，也不论在小区域上如何选取，只要当时，和总趋于确定的极限，则称极限为函数在区域上的二重积分，记作，即，并称函数在闭区域上可积，称为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分区域，为面积元素，为积分和注1：容易看到积分和只与被积函数和积分区域有关，而与积分变量无关，也就是说，如果不改变被积函数和积分区域，积分变量用还是用，是不变的，因此如果函数在上可积，即当时，的极限存在时，则此极限也与积分变量无关，于是有注2：在定义10.1.1中有一个重要的问题，那就是在区域上满足什么条件时，在上可积？对此问题这里不作深入讨论，只给出相关的结论定理10.1.1如果函数在闭区域上连续，则在上可积注3：在二重积分中，面积元素是的抽象化，或者说代表了每一个由于对的分法是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线构成的网来划分，则除了包含边界点的一些小闭区域(在求和取极限时，这些小区域对应项的和的极限为零，故它们可以忽略不计)外，其余小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域的边长为和，于是，因此在直角坐标系中，面积元素被表示为，此时二重积分被记为由定义10.1.1，前面的两个实例可分别表述如下：(一)中以为底、以曲面的曲顶柱体的体积等于在区域上的二重积分，即(二)中占有平面区域、面密度为的平面薄片的质量等于函数在区域的二重积分，即二重积分有类似定积分的几何意义首先，前面已经讲过，若在平面闭区域上，连续函数，则表示以区域为底、以曲面为顶的曲顶的曲顶柱体的体积；其次，容易看到，若在闭区域上，连续函数，则以为底、以为顶的曲顶柱体在面的下方，表示此曲顶柱体面积的负值；综上所述，如果在闭区域上，既取正值又取负值，曲面有一部分在面的上方，也有一部分在轴的下方，此时二重积分表示在面上方的柱体的体积减去在面下方的柱体的体积图10.4例10.1.1求，其中是闭区域解：由二重积分的几何意义， 表示以为底，以曲面为顶在面上方的柱体的体积减去在面下方的柱体的体积由图10.4可以看到，在面上方的柱体是底为，高为的直圆锥，它的体积等于，在面下方的柱体的底为，顶为，它的体积等于底为高为1的直圆柱的体积，减去面下方直圆锥的体积，即等于，于是有四二重积分的性质由定积分和二重积分的定义可以看出，它们有类似的性质，这些性质的证明也是类似的，因此下面列出二重积分的性质，而略去它们的证明性质对任意有限多个函数仍成立(为常数)如果闭区域被有限条曲线分成为有限多个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和，特别如果被分成两个闭区域和，则有性质称为二重积分对积分区域具有可加性如果在闭区域上，的面积为，则如果在闭区域上，则推论如果在闭区域上，则特别地，设和分别是函数在闭区域上的最大值和最小值，的面积为，则如果函数在闭区域上连续，的面积为，则在上至少存在一点，使得，并称此公式为二重积分的中值公式性质也有类似于定积分性质的几何意义：如果在闭区域上，则性质是说在上至少存在一点，使得以为底，以为顶的曲顶柱体的体积，等于以为底，以为高，母线平行于轴的平顶柱体的体积习题10.1一.一薄板(不计其厚度)在面上占有区域,在薄板上分布着表面密度为的电荷,试用二重积分表示此薄板上全部电荷量.(答案:电量)二.利用二重积分的几何意义,说明下面两个二重积分的关系,.(答案:)三.由二重积分的性质,比较下列积分的大小:1.与,其中由坐标轴与直线围成.(答案:)2. 与,其中由坐标轴与圆周所围成的在第一象限的闭区域.(答案: )3.与,其中由直线所围成.(答案)4.与,其中由圆周所围成.(答案:)四.利用二重积分的性质估计下列积分的值:1.,其中.(答案:)2.，其中.(答案:)3.,其中.(答案:)4.,其中.(答案:)第二节二重积分的计算法二重积分的定义实际上只给出了一种积分概念，一般情况下由这个定义并不能解决它的计算问题本节介绍二重积分的计算方法，它是将二重积分的计算化为二次积分来计算的，也就是说将二重积分化为两次定积分来计算由定理10.1.1，以后我们总假定函数在平面闭区域上连续一在直角坐标系下计算二重积分下面我们从二重积分的几何意义来说明二重积分的计算方法，为此设，并设闭区域可用不等式来表示，见图10.5，而且过区间内的任意作平行于轴的直线与的边界只有两个交战，且其中在区间上连续由二重积分的几何意义，图10.5二重积分等于以为顶，以为顶的曲顶柱体的体积，见图10.6，下面我们来计算它的体积图10.6此曲顶柱体的体积与自变量所在的区间有关，我们在内取一小区间，过区间的端点和分别作平行于面的平面，截曲顶柱体得一薄曲顶柱体，见图10.6此薄曲顶柱体的体积近似等于以过作平面截曲顶柱体所得截面为底，以为高的平顶柱体的体积由定积分的几何意义，过作平面截曲顶柱体所得截面的面积 ，于是得薄曲顶柱体的体积近似等于 ，即得曲顶柱体的体积的体积元素，因此，所求曲顶柱体的体积，从而有 (10.2.1) (10.2.1)式告诉我们，当平面区域可用不等式表示，且在上，函数时，二重积分可用等式右边的二次积分计算(10.2.1)的右端的二次积分，在内层积分中是把变量暂时看作常数，积分后是变量的函数，进入外层积分，再对积分通常把(10.2.1)式的右端写为，于是，(10.2.1)式也可写为图10.7 (10.2.1) 类似地，如果积分区域可用不等式表示，见图10.7，而且过区间内的任意作平行于轴的直线与的边界只有两个交战，且其中在区间上连续，则二重积分 (10.2.2)在二重积分中，确定积分限，简称“定限”，是关键的一步，下面我们再对定限方法作下面的讲述对形如图10.5所示的平面区域，通常称为型区域，对形如图10.6所示的平面区域，通常称为型区域无论对型区域还是型区域，定限和作积分的方法有两条件原则：(1)先定限的后积分，后定限的先积分；(2)定限的方法可用两个字来概括：“夹、穿”对于型区域，见图10.5：夹：如果可两条平行于轴的直线恰好将区域夹在中间，则变量的积分限是由到，但要后积分；穿：在区间内任意取一点，作平行于轴的直线从下向上穿区域，如果穿入的边界曲线的方程为，穿出区域的边界曲线的方程为，则变量的积分限是由到，而且先积分由此可见闭区域可表为这样，二重积分，此即(10.2.1)式方法熟练之后，只要写出就可以作积分计算了对于型区域，图10.7：夹：如果可两条平行于轴的直线恰好将区域夹在中间，则变量的积分限是由到，但要后积分；穿：在区间内任意取一点，作平行于轴的直线从左向右穿区域，如果穿入的边界曲线的方程为，穿出区域的边界曲线的方程为，则变量的积分限是由到，而且先积分由此可见闭区域可表为这样，二重积分，此即(10.2.2)式方法熟练之后，只要写出就可以作积分计算了若平面区域既是型区域又是型区域，则用(10.2.1) 式或(10.2.2)式两种积分顺序计算均可，但有时用其中的某一个积分顺序计算积分可能会繁难一点，甚至是不可能的，这是要注意的，见下面的例子对于下列两种情况，则需要将平面区域分成若干个小区域，按照二重积分的性质，将在各个小区域上分别积分，然后相加便得的上的积分(1)如果平面区域既非型区域又非型区域，如图10.8所示，则要将分图10.8成三个小区域，它们都是型区域或区域，则(2)若穿入或穿出的边界曲线的方程不唯一时，如图10.8所示，则需要在交界点处用平行于坐标轴的将分成两个小区域，它们都是型区域(或型区域)，则有例10.2.1计算，其中是由坐标轴和直线所围成的闭区域解：容易看到区域既是型区域又是型区域，因此可用两种积分顺序计算图10.9方法1将作为型区域计算，见图10.9()显然，用恰如可将夹在中间，故的限是从0到1，但要后积分在内任取一点，作平行于轴的直线从下向上穿区域，穿入边界的方程为，穿出边界的方程为，故的限从0到但要先积分，于是方法1将作为型区域计算，见图10.9()显然，用恰如可将夹在中间，故的限是从0到1，但要后积分在内任取一点，作平行于轴的直线从左向右穿区域，穿入边界的方程为，穿出边界的方程为，故的限从0到但要先积分，于是例10.2.2 计算二重积分，其中是由直线及轴所围成的闭区域.解：积分区域的图形，见图10.10容易看到它既是型区域，又是型区域，我们有两种方法来计算此二重积分图10.10方法1将作为区域计算，见图10.10()由于可用二直线将区域内恰好夹在中间，故的限为0到1在区间内任取一点，作平行于的直线从左向右穿区域，穿入边界的方程为，穿出边界的方程为，于是的限为0到区域可表示为二重积分方法2 将作为型区域计算，见图10.10()容易看到可表示为二重积分，可以看到计算内层积分就不是太容易的，可见用方法比较好例10.2.3 计算二重积分，其中是由曲线及直线所围成闭域图10.11解：方法作为型区域，见图10.11()，解出的交点为，可以表示为于是，方法2作为型区域，见图10.11()，由于穿入的边界曲线是分段的，故需要在交界点处作平行于轴的直线将区域分成两个小闭区域，分别在上积分，然后加在一起，即为在上的积分解出的交点为，的交点，于是可以分别表示为于是，可见方法1要简捷一些二利用极坐标计算二重积分对有些二重积分，积分区域的边界用极坐标方程表示比较方便，而且被积分函数用极坐标变量表达比较简单，这时用极坐标计算二重积分会比较容易下面我们先研究在二重积分的定义中，即中，积分和在极坐标下的形式假定从极点出发且穿过闭区域内部的射线与的边界曲线的交点不多于两个我们用以极点为中心的一族同心圆，即常数的曲线，以及从极点出发的一族射线，即常数的半直线，将分成个小闭区域，见图10.12除了包含边界点的一些小区域外，其余小区域的面积，可计算如下：图10.12其中表示相邻两圆弧的半径的平均值在这小闭区域内取圆周上的一点，该点的直角坐标为，则由直角坐标与极坐标的关系有，于是有，即得，也可写成 ，(10.2.3)这是二重积分的变量从直角坐标变换到极坐标的变换公式，其中是在极坐标下的面积元素由(10.2.3)式，要用极坐标计算二重积分，首先是用替换函数中的变量，并将直角坐标系中面积元素换成极坐标系下的面积元素极坐标下计算二重积分，也是要化成二次积分来计算，它的关键步骤仍然是如何确定积分限，下面讲解定限方法对于形如图图10.1310.13中的闭区域，在极坐标下的积分限仍然可用“夹”、“穿的方法来确定，具体方法就是：夹：如果可用从极点出发的两条射线恰好将区域夹在中间，则变量的积分限是由到，但要后积分；穿：在区间内任取一作从极点出发的射线，穿区域，如果穿入的边界曲线的极坐标方程为，穿出的边界曲线的极坐标方程为，则变量的积分限是从到，要先积分综上，积分区域可表示为此时，二重积分化为二次积分，上式一般写成下面的形式：对于形如图10.14中的闭区域，积分变量的确定方法与上述一样，只是当在内任一作从极点出发的射线穿区域时，由于极点就是它的边界，故穿入边界曲线的方程为由图形可见，穿出的边界曲线的极坐标方程为此时闭区域可表示为图10.14二重积分对于图10.14()中的闭区域，由于的边界包围极点，故变量的积分限应是从到，变量的积分限显然是从到此时闭区域可表示为二重积分例10.2.4 计算二重积分，其中是由圆及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域图10.15解：显然积分区域(见图10.15)可用从极点出发的二射线恰好夹在中间，在区间内任取一作从极点出发的射线穿区域，穿入边界的方程为，穿出边界的方程为，于是区域可表示为于是例10.2.5 计算二重积分，其中是由所围成的闭区域解：闭区域的边界曲线为，它的极坐方程为，见图10.16由图10.16可见，用射线可将恰好夹在中间，在区间内任取一作射线穿，从穿入，从穿出，故可表示为图10.16于是有例10.2.6 计算二重积分，其中是坐标轴及圆周所围成的在第一象限的闭区域解：显然区域可表示为于是有即 (10.2.4)由于不能用初等函数表示，故此题不能用直角坐标计算下面我们利用(10.2.4)式的结果来计算在广义积分，通常称此积分为概率积分考虑二元函数的第一象限内的积分，即积分，它是广义二重积分由于当时，第一象限的闭区域可以覆盖第一象限，考试此广义二重积分可以用下面的方法计算，再由(10.2.4)式，有另一方面，若记，则有于是有，因而得到三二重积分的几何应用(一)用二重积分计算空间曲顶柱体的体积例10.2.7 计算由旋转抛物面，坐标面和平面所围成的立体的体积解：这里要求曲顶柱体的体积，见图10.17，它的顶为曲面，它在面上的投影区域为图10.17 于是有所求曲顶柱体的体积 (二)用二重积分计算曲面的面积 设曲面的方程为,它在面上的投影区域为,并设函数在内具有一阶连续偏导数.下面求曲面的面积.图10.18在区域上任取一块直径很小的区域,同时用表示该小区域的面积.在小区域内任取一点,对应于曲面上的点为,即在上的投影为.在点处作曲面的切平面,记为.以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面.此柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,见图10.18.由于的直径很小,故可用上那一小片平面的面积近似代替相应曲面上的那一小片曲面的面积.设在点处曲面上的法线朝上,与轴的夹角为,则在切平面上那一小片平面的面积为,于是有.而,因此这就是曲面的面积元素.以其为被积函数在区域上积分,即得曲面的面积, (10.2.5)图10.19 (1)设二平面的夹角为(取锐角).上的区域在上的投影区域为,由的面积与的面积的面积之间有下列关系,下面证明这一关系式成立.先设是矩形区域,且它的一边平行于的交线且其边长为,另一边的长为,则也是矩形,它的边长分别为和,于是有,即有.一般情况下,可将分成个上面那样的矩形,如果不计靠近边界的不规则部分(在下面的极限过程中趋于零),则小矩形的面积与其投影区域的面积之间有关系式,于是有,令各小区域的直径的最大值趋于零,取极限得.(10.2.5)式也可表示为 . (10.2.6)如果曲面的方程为或,则可将曲面投影到或面上,记投影区域为或,类似可以得到,或.图10.20 例10.2.8 求半球面被柱面所割下的部分的曲面面积. 解: 半球面被柱面所割下的部分的图形见图10.20,它在面上的投影区域是曲线所围成的区域.计算得.由对称性所求曲面的面积等于它在第一卦限部分的面积的二倍,设这部分曲面在面上的投影区域为,于是.习题10.2 一.计算下列二重积分 1.,其中.(答案:9) 2.,其中.(答案:) 3.,其中.(答案:2) 4.,其中是由坐标轴和直线所围成的闭区域.(答案:) 5.,其中.(答案:) 6.,其中.(答案:) 二.将二重积分化成二次积分(两种顺序都要),积分区域如下: 1.由围成的闭区域. (答案:) 2.由所围成的闭区域. (答案:). 3.由所围成的闭区域. (答案:). 4.由所围成的闭区域. (答案:) 三.交换下列积分顺序: 1.(答案:) 2.(答案:) 3.(答案:) 4.(答案: 四.计算下列二重积分: 1.，其中是由所围成的闭区域.(答案:) 2.,其中是由所围成的闭区域.(答案:) 3.,其中是由所围成的闭区域(答案:) 4.,其中是由坐标轴及所围成的闭区域.(答案:0) 5., 其中是由所围成的闭区域.(答案:) 6., 其中是由所围成的闭区域.(答案:) 7., 其中是由坐标轴及所围成的闭区域.(答案:) 8., 其中是由坐标轴及所围成的闭区域.(答案:) 9., 其中是由所围成的闭区域.(答案:)10., 其中是由所围成的位于部分的闭区域.(答案:)五.利用极坐标计算下列二重积分:1., 其中是由圆所围成的闭区域.(答案:)2., 其中是由圆所围成的在第一象限的闭区域.(答案:)3., 其中是由圆及直线所围成的在第一象限内的闭区域.(答案:)4., 其中是由圆及直线所围成的在第一象限内的闭区域.(答案:)5., 其中是由圆所围成的闭区域.(答案:)6.，其中.(答案:)7., 其中是由圆所围成的在第一象限内的闭区域.(答案:)8., 其中是由圆所围成的闭区域.(答案:).六.利用二重积分计算各曲面所围成的立体的体积:1.坐标面、平面及抛物面.(答案:)2.旋转抛物面、坐标面及平面.(答案:)3.抛物柱面、坐标面及平面，在第一卦限的部分.(答案:).4.圆柱面和.(答案:)五.求下面指出的曲面的面积:1.平面被三个坐标面所割下的部分.(答案:)2.球面被平面所夹的部分.(答案:)3.锥面被柱面所割下的部分.(答案:)4.抛物面上由至的一段曲线绕轴旋转所得的旋转曲面.(答案:)第三节 三重积分的概念及其计算法 一引例和定义例10.3.1设一非均匀的物体占有空间有界闭区域，在其上点的密度为，且在上连续，要求此物体的质量如果物体是均匀的，则它的质量密度体积，图10.18现在密度不是常数，是随点而变化的，因此不能直接用上述公式计算，但由于密度的上连续，在微小的一块小区域上是近似不变的，因此可用定积分的“大分小，局部以常代变，求近似和，取极限”的思想来解决它的质量的计算问题。用一组曲面将分成个小区域，同时用表示第块小区域的体积设的质量为，于是此物体的质量；在第一上任取一点，将上密度近似看作是常数，见图10.18于是有；将诸求和，得该物体的质量的近似值，即；记为的直径，当各个小区域直径的最大值趋于零时，对上式取极限，则得到该物体的质量的精确值,即有将以上求非均匀物体的质量的计算过程抽象化便是三重积分的定义定义10.3.1设是空间闭区域上的有界函数用一组曲面将分成个小区域，同时用表示第个小区域的体积在每个小区域上任取一点，作乘积，作和式如果当各个小区域的直径的最大值趋于零时这和式的极限存在，则称函数在闭区域上可积，称此极限为函数区域上的三重积分，记作，即 ，(10.3.1)其中称为被积函数，称为积分区域，称为体积元素在直角坐标系下，如果用平行于坐标面的平面来分，则除了包含边界点的一些不规则的小区域外，其余小区域都是长方体，设它的边长分别为，于是有因此在直角坐标系中，有时将体积元素记作，将三重积分记作，其中称为在直角坐标系下的体积元素关于积分的存在性问题，类似二重积分的存在性，即如果函数在闭区域上连续，则(10.3.1)式右边的极限存在，即函数在闭区域上可积以后我们总假定函数在闭区域上连续三重积分的性质也与二重积分类似，这里不再重复叙述由定义10.3.1,例10.3.1中物体的体积二三重积分的计算法1在直角坐标系下计算三重积分类似二重积分化为二次积分来计算，三重积分可化为三次积分来计算下面来介绍将三重积分化成三次积分的方法图10.19假设用平行于轴的直线从下向上穿闭区域的内部与的边界曲面的交点不多于两个(1)投影法下面先介绍投影法将区域投影到面得一闭区域，见图10.17以的边界为准线作母线平行轴的柱面，这柱面与曲面的交线将分成上、下两部分分别为，它们的方程是 ， ，其中都是上的连续函数，且过内的任意一点作平行轴的直线从下向上穿闭区域，穿入边界曲面的方程为，穿出边界曲面的方程为，则变量的积分限就是从到在对变量积分时，先将函数中看作常数，积分的结果是的函数，记为，即，然后再对在区域上作二重积分，如果区域是型区域，见图10.19，再将上面的二重积分化为二次积分，于是得三重积分化为三次积分的计算公式 (10.3.2)如果平行于或平行于轴的直线穿过区域的内部时交点不多于两个，则可以将投影到或面，将三重积分化为其它顺序的三次积分来计算如果不符合一述条件，则可将分成为若干部分区域，使在上的三重积分化为在各个部分区域上的三重积分的和习惯上投影到上计算三重积分的情况要多一些，一定要熟练掌握例10.3.2计算三重积分，其中是由三个坐标面及平面所围成的闭区域解的图形见图10.20在面上的投影区域图10.20过内任意一点作平行于轴的直线从下向上穿，穿入边界曲面的的方程为，穿出曲面的方程为，于是有图10.21例10.3.3计算三重积分，其中是坐标面、锥面及平面所围成的闭区域 解：的图形见图10.21的面上的投影区域为过内任意一点作平行于轴的直线从下向上穿，穿入边界曲面的的方程为，穿出曲面的方程为，于是有(2)截面法有时用所谓“截面法”计算三重积分，要简便一些下面介绍这种方法如果用两平面恰好将区域夹在中间，则变量的积分限为到，但要后积分；在区间内任取一，作平行于的平面，截得一区域，则在区域上将看作常数先对作二重积分，于是三重积分化为例10.3.4 计算三重积分，其中是曲面及平面所围成的闭区域解：容易看到区域可被两平面恰好夹在中间，于是变量的积分限为到图10.22在区间内任取一点，作平行于面的平面，截得一区域 于是有三重积分 如果用投影法计算，在面的投影区域为，则有，容易看到内层积分就是不容易计算的，可见用截面法计算要简单一些不过，投影法仍是最基本的方法，要熟练掌握三在柱面坐标下计算三重积分设是空间内的一点，并设在面上的投影的极坐标为，于是三个数就完全确定了点在空间的位置，称为点的柱面坐标规定的范围是三组坐标面分别为常数，是以轴为轴的圆柱面；常数，是过轴的半平面；常数，是平行于轴的平面点的直角坐标与柱面坐标的关系式 (10.3.3)为将三重积分中变量变换为柱面坐标，用三组坐标面常数、常数、常数，将分成若干个小闭区域，除了包含的边界点的一些不规则小闭区域外，其它小闭区域都是柱体下面计算当变量分别取得增量所产生的柱体的体图10.23积，见图10.23它的体积等于高与底面积的乘积这里高等于，底面积不计高阶无穷等于极坐标的面积元素，于是有 (10.3.4) 这就是在柱面坐标下的体积元素再考虑到(10.3.3)式，则三重积分 (10.3.5)其中 在利用(10.3.5)式计算三重积分时，它的右边可以化为三次积分计算化三次积分的方法可概括如下：在直角坐标第下用投影法计算三重积分的积分表示式中作下面几处变换就可化为三次积分：(1)将代入中；(2)将体积元素换成；(3)将穿入的边界曲面的方程和穿出边界曲面的方程分别换成各自的极坐标方程，这只需将分别代入即可；(4)在投影区域上作二重积分时用极坐标定限例10.3.5 利用柱面坐标计算三重积分，其中是由锥面及平面所围成的闭区域解：的图形见图10.22，它在面上的投影区域为，用极坐标表示为锥面的极坐标方程为，于是图10.23 例10.3.6 利用柱面坐标计算三重积分，其中是由球面及平面所围成的第一卦限内的闭区域解：的图形见图10.23，它在面上的投影区域为 ，用极坐标表示为上半球面的极坐标方程为，于是三利用球面坐标计算三重积分设是空间内的一点，则点在空间的位置可用这样三个有次序的数来确定，其中为原点与点间的距离，为有向线段与轴正向所夹的角，为从正轴来看自轴按逆时针方向转到有向线段的角这里是点在面上的投影，见图10.24称为点的球面坐标规定的范围是图10.24图10.25三组坐标面分别为常数，是以原点为中心的球面；常数，是以原点为顶点，以轴为轴的锥面；常数，是过轴的半平面点的直角坐标与柱面坐标的关系式 (10.3.6)为将三重积分中变量变换为柱面坐标，用三组坐标面常数、常数、常数，将分成若干个小闭区域下面计算当变量分别取得增量所产生的六面体的体积，见图10.25不计高阶无穷小，它的体积可看成是一长方体的体积，其经线方向的长为，纬线方向的宽为，向径方向的高为，于是有 (10.3.7)这就是在球面坐标下的体积元素再考虑到(10.3.6)式，则三重积分(10.3.8)其中 在利用(10.3.8)式计算三重积分时，它的右边可以化为三次积分计算化三次积分的方法可概括如下：如果作两个半平面恰好将闭区域夹在中间，则变量的积分限就是从到；在区间内任取一作常数的半平面，与相交得一平面图形在此半平面上，用恰好将夹在中间，则变量的积分限是从到；在区间内任取一作射线穿区域，如果穿入边界曲线的方程为，穿出边界曲线的方程为，则变量的积分限从到，于是三重积分化为三次积分的表示式就是图10.26从将三重积分化成三次积分的方法上说如前所述，如果积分区域是由坐标面，中心在原点的球面，以原点为顶点、以轴为轴的锥面所围成，则用上述方法所确定的积分限都是常数，见下面的例子。例10.3.7用球面坐标计算例10.3.6中的积分解：由图10.26容易看到，可用半平面恰好夹在中间，于是的积分限是从到；在区间内任取一作半平面与交一区域，见图10.26，它是以原点为中心、半径为的的四分之一的圆在此半平面上，用射线恰好将区域夹在中间，于是的积分限是到；在区间上任取一作射线穿，穿入边界的方程是，由于球面的球面坐标的方程为，穿出边界曲线的方程是，于是的积分限是从到综上三重积分例10.3.8用球面坐标计算三重积分，其中是由球面与锥面所围成的闭区域图10.27 解：的图形见图10.27由于包围轴，因此只能作两个半平面才能将夹在中间，因而的积分限是从到；在区间内任取一作半平面常数，与交一区域它是一原点为圆心，一条半径在轴上，中心角为的扇形，它可用射线夹在中间，故的积分限从到；在区间由任取一作射线穿区域，容易看到从穿入，从穿出，因而的积分限是从到于是习题10.3 一.计算下列二重积分1.,.(答案:)2.,.(答案:).3.,是由所围成的四面体.(答案:).4.,是由平面和锥面所围成的立体.(答案:)5.,是由平面及抛物柱面所围成的立体.(答案:)6.,是由平面、圆柱面及抛物柱面所围成的立体.(答案:)7.,是由抛物柱面及平面所围成的立体.(答案:)二.利用柱面坐标或球面坐标计算下列三重积分:1.,是由所围成的在第一卦限的区域.(答案:)2.,是由柱面及平面所围成的区域.(答案:)3.,是由锥面及平面所围成的区域.(答案:)4.,是由球面、柱面及平面所围成的区域.(答案:)5.,是由球面及平面所围成的在第一卦限内的区域.(答案:)6.,是由半球面及平面所围成的区域.(答案:)7.,是由半球及锥面所围成的区域.(答案:)8.,是由半球面与平面所围成的区域.(答案:)本章小结一内容提要（一）二重积分的概念和性质1定积分的概念设函数在闭区域上有界，将任意分成个小区域，同时用表示相应小区域的面积在每个小区域上任取一点，作函数值与小区域的面积的乘积，并作和式记，其中表示的直径，如果不论对如何划分，也不论在小区域上如何选取，只要当时，和总趋于确定的极限，则称极限为函数在区域上的二重积分，记作，即，并称函数在闭区域上可积，称为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分区域，为面积元素，为积分和2可积性如果函数在闭区域上连续，则在上可积3二重积分的几何意义如果在闭区域上，曲面有一部分在面的上方，也有一部分在轴的下方，则二重积分表示在面上方的柱体的体积减去在面下方的柱体的体积4二重积分的性质性质对任意有限多个函数仍成立(为常数)如果闭区域被有限条曲线分成为有限多个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和，特别如果被分成两个闭区域和，则有性质称为二重积分对积分区域具有可加性如果在闭区域上，的面积为，则如果在闭区域上，则推论如果在闭区域上，则特别地，设和分别是函数在闭区域上的最大值和最小值，的面积为，则如果函数在闭区域上连续，的面积为，则在上至少存在一点，使得，并称此公式为二重积分的中值公式（二）三重积分的计算法1.在直角坐标系下计算二重积分(1)如果是型区域,即可表示为则;(1)如果是型区域,即可表示为则;(3)如果平面区域既非型区域又非型区域，则要将分若干个型区域或区域，分别积分然后相加即得(4)若穿入或穿出的边界曲线的方程不唯一时，则需要在交界点处用平行于坐标轴的将分成若干个区域，分别积分然后相加即得2.在极坐标系下计算二重积分首先用分别替换变量,用替换.如果可表示为则. (1)如果的边界包围极点,则可表示为则;(2)如果极点在的边界上,则可表示为则.（三）二重积分的几何应用1.计算曲顶柱体的体积以为顶,以为底的曲顶柱体的体积;2.如果曲面的方程为,它在面上的投影区域为,则的面积;如果曲面的方程为,它在面上的投影区域为,则的面积;如果曲面的方程为,它在面上的投影区域为,则的面积;（四）三重积分的概念和性质1三重积分的概念设是空间闭区域上的有界函数用一组曲面将分成个小区域，同时用表示第个小区域的体积在每个小区域上任取一点，作乘积，作和式如果当各个小区域的直径的最大值趋于零时这和式的极限存在，则称函数在闭区域上可积，称此极限为函数区域上的三重积分，记作，即，其中称为被积函数，称为积分区域，称为体积元素2可积性如果函数在闭区域上连续，则在上可积3三重积分的性质三重积分有与二重积分类似的性质.（五）三重积分的计算法1.在直角坐标系下计算三重积分 (1)投影法如果平行于轴的直线与的边界的交点不多于两个,将区域投影到面得一闭区域，以的边界为准线作母线平行轴的柱面，这柱面与曲面的交线将分成上、下两部分分别为，它们的方程是， ，则如果区域是型区域，则;如果区域是Y型区域，则;如果平行于或平行于轴的直线穿过区域的内部时交点不多于两个，则可以将投影到或面，将三重积分化为其它顺序的三次积分来计算如果不符合一述条件，则可将分成为若干部分区域，使在上的三重积分化为在各个部分区域上的三重积分的和(2)截面法如果用两平面恰好将区域夹在中间，则变量的积分限为到，在区间内任取一，作平行于的平面，截得一区域，则在区域上将看作常数先对作二重积分，于是三重积分化为2.在柱面坐标系下计算二重积分用柱面坐标计算三重积分,实际上就是在计算公式中,在上作二重积分时用极坐标,并将用化为柱坐标方程,用体积元素替换,如果可表示为则.3.在球面坐标下计算三重积分用球面坐标计算三重积分,首先要用来替换变量,用替换体积元素.如果作两个半平面恰好将闭区域夹在中间，则变量的积分限就是从到；在区间内任取一作常数的半平面，与相交得一平面图形在此半平面上，则三重积分化为三次积分的表示式就是 如果积分区域是由坐标面，中心在原点的球面，以原点为顶点、以轴为轴的锥面所围成，则用上述方法所确定的积分限都是常数，二基本要求1理解二重、三重积分的概念和性质，知道二重积分的几何意义；2能熟练掌握用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法；3能熟练掌握用直角坐标和柱面坐标计算三重积分的方法，能用球面坐标计算一些特殊类型积分区域的三重积分；4掌握用二重积分计算曲顶柱体的体积和曲面面积的方法.综合练习题一单项选择题1设是连续函数，则等于( B )(A)；(B)；(C)；(D).2设有空间区域则( C )(A) ； (B) ； (C) ； (D) .3设是面上以为顶点的三角形区域,是在第一象限的部分,则等于( A ) (A) ； (B)；(C)；(D) .4累次积分可以写成( D )(A) ；(B)； (C)； (D) .5设,其中,则( C )(A) ；(B)；(C) ； (D)无法比较大小.二填空题1交换积分次序 _；(答案:)2 _；(答案:)3设有一阶连续导数,且,是由圆周所围成的区域,则 _；(答案:)4设为球面所围成的区域,则 _；(答案:0)5设有一斜圆柱体,它被垂直于轴的平面截得的区域的面积为,是该斜圆柱体被平面所截下的区域,则 _；(答案:)三计算题与证明题1计算二重积分,其中是由轴、轴与曲线所围成的区域，；(答案:)2设函数在区间上连续,且,求.(答案:)3计算；(答案:)4计算,其中是圆域；(答案:)5计算,其中是由所围成的区域是一连续函数;(答案:)6.计算,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域.(答案:)7计算,其中是由二球面所围成的区域；(答案:)8计算；(答案:)9.计算;(答案:)10.已知,其中,是连续函数,求;(答案:)11.证明;12.设是连续函数,证明,其中；13.设是连续函数,证明；14.设在区间上连续,证明；15.设在区间上连续且恒大于零,试利用二重积分证明.惹钳喊栋盒契站律沏悸曳叔揽耽滚晤亚蓬院泰泼斧磅谐抢剃意滥宛网爱月玩惨诬募岸舷罢桃您刘伏之隘厂砰成硫净鸦龙腥宪增静荡捆蹋蛾析内扑味读舶啡硕盼抽防供絮钥劲倘套镊雾棵试弥页揍挪哦张鞘松羞派噎绍纶澡裸炽摧肄官圆媳梦戮拽估板逊肆盏团虚填捣机牵反瘟舍莎懂蕊沫寺荫中停已荆逻椒饱么奠治叁涕操锡鹤店旧专话椒字庚续粗揪尊颗裹销止湍萧胖淤财札洛蘑五脂么声欠奎发涣法觅