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7相似三角形的性质1.1.相似三角形中重要线段的比相似三角形中重要线段的比: :相似三角形对应高的比、对应相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于角平分线的比、对应中线的比都等于_._.相似比相似比2.2.相似三角形的周长比和面积比相似三角形的周长比和面积比: :(1)(1)相似三角形的周长比等于相似三角形的周长比等于_._.(2)(2)已知已知: :ABCABCABC,ABC,ABCABC与与ABCABC的相似比的相似比为为k.k.若若CD,CDCD,CD分别是分别是AB,ABAB,AB边上的高边上的高, ,则则 =k,=k,SSABCABC= AB= ABCD,SCD,SABCABC= AB= ABCD.CD. =_. =_.相似三角形的面相似三角形的面积比等于积比等于_._.相似比相似比CDC D 1212ABCA B CS_ _S 1AB CD21A B C D2 ABA B CDC D k k2 2相似比的平方相似比的平方【思维诊断思维诊断】( (打打“”“”或或“”) ”) 1.1.两个相似三角形的相似比为两个相似三角形的相似比为3,3,则它们的面积比为则它们的面积比为6.( )6.( )2.2.如果把一个多边形的各边都扩大如果把一个多边形的各边都扩大5 5倍倍, ,则这个多边形的面积扩则这个多边形的面积扩大大2525倍倍. .( )( )3.3.ABCABC与与DEFDEF的相似比为的相似比为23,23,则则DEFDEF与与ABCABC的周长之比的周长之比为为49.49.( )( )4.4.ABCABCABC,ABC,它们的相似比为它们的相似比为2,2,则则ABCABC与与ABCABC的面积比为的面积比为2.2.( )( )知识点一知识点一相似三角形的重要线段和角相似三角形的重要线段和角【示范题示范题1 1】一块直角三角形木板的一条一块直角三角形木板的一条直角边直角边AB=3m,BC=4m,AB=3m,BC=4m,工人师傅要把它加工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面工成一个面积最大的正方形桌面, ,现请甲乙两位同学设计加工现请甲乙两位同学设计加工方案方案, ,甲设计的方案如图甲设计的方案如图1,1,乙设计的方案如图乙设计的方案如图2.2.你认为哪位同你认为哪位同学设计的方案较好学设计的方案较好? ?试说明理由试说明理由. .【思路点拨思路点拨】分别表示出两种图形中正方形的面积分别表示出两种图形中正方形的面积, ,先求出两先求出两种情况下正方形的边长种情况下正方形的边长, ,然后求出面积比较大小然后求出面积比较大小. .【自主解答自主解答】按图按图1 1设计设计, ,设正方形的边长为设正方形的边长为x,x,因为因为DEAB,DEAB,所以所以CDE=CBA,CED=CAB,CDE=CBA,CED=CAB,所以所以CDECDECBA,CBA,所以所以 按图按图2 2设计设计, ,如图所示如图所示, ,过点过点B B作斜边作斜边ACAC边上的高边上的高BH,BH,垂足为垂足为H,H,交交DEDE于于P,P,因为因为ABABBC=ACBC=ACBH,BH,CDDE4xxCBBA43，即，12x.7解得解得解得BH=2.4,BH=2.4,设正方形的边长为设正方形的边长为y,y,因为因为DEAC,DEAC,所以所以BDE=A,BED=C,BDE=A,BED=C,所以所以BDEBDEBAC,BAC,所以所以 即即 因为因为xy,xy,所以所以x x2 2yy2 2, ,所以甲同学设计的方案较好所以甲同学设计的方案较好. .DEBPACBH，y2.4y60y52.437，解得，【想一想想一想】在本例中在本例中, ,求解两种方案中正方形的边长时求解两种方案中正方形的边长时, ,都运用了什么知识都运用了什么知识? ?提示提示: :都运用了相似三角形的性质都运用了相似三角形的性质. .【微点拨微点拨】运用相似三角形对应边上高的比的两点注意运用相似三角形对应边上高的比的两点注意1.1.图形图形: :相似三角形对应边上高的比常见图形相似三角形对应边上高的比常见图形如下如下, ,即三角形中存在一个矩形即三角形中存在一个矩形. .2.2.方法方法: :习惯上习惯上, ,利用相似三角形对应边上高的利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解比等于相似比列方程求解. .【方法一点通方法一点通】相似三角形性质的相似三角形性质的“四种作用四种作用”(1)(1)求解线段的长度和角的度数求解线段的长度和角的度数. .(2)(2)计算三角形的周长及面积计算三角形的周长及面积. .(3)(3)证明线段的比例关系、角相等证明线段的比例关系、角相等. .(4)(4)计算线段的比及线段的平方比计算线段的比及线段的平方比. .知识点二知识点二 相似三角形的周长与面积相似三角形的周长与面积【示范题示范题2 2】(2013(2013无锡中考无锡中考) )如图如图, ,梯形梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,对角线对角线AC,BDAC,BD相交于相交于O,AD=1,O,AD=1,BC=4,BC=4,则则AODAOD与与BOCBOC的面积比等于的面积比等于( () ) 1111A. B. C D24816【教你解题教你解题】【想一想想一想】示范题示范题2 2中中AOBAOB和和DOCDOC有什么关系有什么关系? ?提示提示: :AOBAOB和和DOCDOC面积相等面积相等. .【方法一点通方法一点通】相似图形的周长与面积的计算相似图形的周长与面积的计算1.1.常见图形结构常见图形结构: :“A A”型图与型图与“X X”型图型图, ,应用平行线构造相似应用平行线构造相似三角形三角形, ,常与平行四边形联系在一起常与平行四边形联系在一起. .2.2.解题关键解题关键: :一是准确把握相似三角形的周长的比与面积的比一是准确把握相似三角形的周长的比与面积的比和相似比的关系和相似比的关系; ;二是掌握同底等高或等底同高的三角形面积二是掌握同底等高或等底同高的三角形面积之间的相等关系之间的相等关系. .
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