新版高中数学北师大版必修四教学案：第一章 167;7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质 Word版含答案

新版数学北师大版精品资料新版数学北师大版精品资料第 1 课时正切函数的定义正切函数的图像与性质核心必知1正切函数(1)定义：如果角满足：R R，2k(kZ Z)，那么，角的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba.根据函数的定义，比值ba是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan_，其中R R，2k，kZ Z.(2)与正弦、余弦函数的关系：sinxcosxtan_x(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数(4)正切值在各象限内的符号如图2正切线单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线AT，与角的终边或其反向延长线交于点T.则称线段AT为角的正切线当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在3正切函数的图像和性质函数性质ytanx图像续表函数性质ytanx定义域x|xR R 且xk2，kZ Z值域R R周期性最小正周期为T奇偶性奇函数单调性在(k2，k2)(kZ Z)上是增加的对称性图像的对称中心(k2，0)kZ Z问题思考1你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线xk2(kZ Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心2正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是正切函数定义域是x|xk2，kZ Z，正切曲线在每一个开区间(k2，k2)(kZ Z)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的3函数y|tanx|的周期是2吗？提示：不是y|tanx|的周期仍为.讲一讲1已知 tan2，利用三角函数的定义求 sin和 cos.尝试解答在的终边上取一点P(a，2a)且a0，则有xa，y2a，ra24a2 5|a|.tan20，在第一象限或第三象限当在第一象限时，a0，则r 5a.sinyr2a5a2 55，cosxra5a55.当在第三象限时，a0，则r 5a.sinyr2a 5a2 55，cosxra 5a55.1若P(x，y)是角终边上任一点，则 sinyr，cosxr，tanyx(x0)，其中rx2y2.2当角的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论练一练1角的终边经过点P(b，4)且 cos35，求 tan的值解：由已知可知点P在第二象限，b0.cos35，bb21635，解得b3，tan43.讲一讲2画出函数y|tanx|的图像，并根据图像写出使y1 的x的集合尝试解答y|tanx|tanx，kxk2， （kZ Z） ，tanx，k2xk， （kZ Z） ，画出其图像，如图所示实线部分由图像可知x的集合为x|k4xk4，kZ Z1三点两线画图法“三点”是指4，1，(0，0)，4，1；“两线”是指x2和x2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在2，2 上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线2如果由yf(x)的图像得到yf(|x|)及y|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yf(x)(x0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf(|x|)(x0)的图像；同理只要作出yf(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y|f(x)|的图像3利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等练一练2多维思考根据讲 2 中函数y|tanx|的图像，讨论该函数的性质解：(1)定义域：x|xR R，x2k，kZ Z(2)值域：0，)(3)周期性：是周期函数，最小正周期为.(4)奇偶性：图像关于y轴对称，函数是偶函数(5)单调性：在每一个区间(2k，k(kZ Z)上是减少的，在每一个区间k，2k(kZ Z)上是增加的(6)对称性：对称轴xk2，kZ Z.讲一讲3(1)求函数ytan12x4 的单调区间(2)比较 tan214与 tan175的大小尝试解答(1)ytanx，在2k，2k(kZ Z)上是增加的，2k12x42k，kZ Z.2k2x2k32，kZ Z，即函数ytan12x4 的单调递增区间是22k，322k(kZ Z)(2)tan214tan45tan4，tan175tan325tan25.又函数ytanx在(0，2)内单调递增，而 04252，tan4tan25，即tan214tan175.1正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间2对于函数yAtan(x)(A，是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x的范围即可3比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间2，2 内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小练一练3函数f(x)tan(2x3)的单调递增区间为_解析：由k22x3k2(kZ Z)，得k212xk2512(kZ Z)，所以函数的单调递增区间为(k212，k2512)(kZ Z)答案：(k212，k2512)(kZ Z)求函数y11tanx的定义域错解由 1tanx0 得 tanx1，解得xk4，kZ Z，函数的定义域为x|xk4，kZ Z错因求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义， 还得考虑正切函数本身固有的xk2，kZ Z 这一条件上面的解法只考虑了 1tanx0，而没有考虑xk2，kZ Z，因而是错误的正解由1tanx0，xk2，kZ Z，得xk4且xk2，kZ Z.函数的定义域为x|xk4且xk2，kZ Z.1函数ytan(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析：选 Aytan(x)tanx.此函数是奇函数2函数ytan(x4)的定义域是()A.x|x4B.x|x4C.x|xk4，kZ ZD.x|xk4，kZ Z解析：选 D由x4k2，kZ Z 得，xk4，kZ Z，函数的定义域为x|xk4，kZ Z.3已知角的终边上一点P(2，1)，则 tan()A.12B2C2D12解析：选 Dtanyx1212.4函数ytanx，x0，4 的值域是_解析：函数ytanx在0，4 上为增加的，0tanx1.答案：0，15比较大小：tan 2_tan 9.解析：tan 9tan(29)，而2229，且ytanx在(2，)内是增加的tan 2tan(29)，即 tan 2tan 9.答案： 6利用正切函数的图像作出ytanx|tanx|的图像，并判断此函数的周期性解：当x(k2，k时，ytanx0，当x(k，k2)时，ytanx0，ytanx|tanx|0，x（k2，k，kZ Z，2tanx，x（k，k2） ，Z Z.图像如图所示由ytanx|tanx|的图像可知，它是周期函数，周期为.一、选择题1已知是第二象限角，则()Atan20Btan20Ctan20Dtan2的符号不确定解析：选 A是第二象限角，2是第一或第三象限角，tan20.2函数y2tan(2x4)的定义域是()A.x|xR R 且xk4，kZ ZB.x|xR R 且xk238，kZ ZC.x|xR R 且xk34，kZ ZD.x|xR R 且xk28，kZ Z解析：选 B由 2x4k2，kZ Z，解得xk238，kZ Z.3函数ytan(sinx)的值域是()A.4，4B.22，22Ctan 1，tan 1D1，1解析：选 C1sinx1，21sinx10tanx，cosx0tanx，2x2，tanx，x2或20，函数的增区间为(k，k2)(kZ Z)答案：k，k2 (kZ Z)7函数ysinx与ytanx的图像在2，2 上交点个数是_解析：在x0，2 时，tanxsinx，x2，0时，tanxsinx，所以ysinx与ytanx在2，2 上只有一个交点(0，0)答案：18已知函数y2tan612x，则函数的对称中心是_解析：y2tan612x2tan12x6 .ytanx的对称中心为k2，0，令12x6k2，得xk3，kZ Z.y2tan612x的对称中心为k3，0，kZ Z.答案：k3，0(kZ Z)三、解答题9已知f(x)asinxbtanx1，f(25)7，求f(2 0125)解：设g(x)asinxbtanx，因为 sinx与 tanx都是奇函数，所以g(x)g(x)，即g(x)g(x)0，故f(x)f(x)g(x)1g(x)12，又易得f2 0125f40225f25，f25f252，且f257，f2 0125f255.10已知函数f(x)x22xtan1，x1， 3 ，其中2，2 .(1)当6时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求的取值范围，使yf(x)在区间1， 3 上是单调函数解：(1)当6时，f(x)x22 33x1x33243，x1， 3 当x33时，f(x)的最小值为43；当x1 时，f(x)的最大值为2 33.(2)函数f(x)(xtan)21tan2的图像的对称轴为xtan.yf(x)在区间1， 3上是单调函数，tan1 或tan 3，即 tan1 或 tan 3.又2，2 ，的取值范围是2，3 4，2.