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北师大版2019-2020学年数学精品资料第二课时二项式系数的性质 二项式系数的性质n依次取1,2,3，时，(ab)n展开式的二项式系数如图所示：观察此表，思考下列问题问题1：同一行中，系数有什么规律？提示：两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等，即CC.问题2：相邻两行，系数有什么规律？提示：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.“杨辉三角”及其规律(1)杨辉三角(2)“杨辉三角”蕴含的规律在同一行中，每行两端都是1.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和即二项式系数满足组合数的性质CCC.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性CC.1二项式系数性质类似于组合数的两个性质：(1)CC；(2)CCC.2从表中可以看出(ab)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和等于2n，而CCCC2n. 与“杨辉三角”有关的问题例1如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S19的值思路点拨观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和精解详析由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCC)C54220274.一点通解决与杨辉三角有关问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律1如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为_解析：观察规律可知：第n行的首尾两个数均为2n1.答案：2n12如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.解析：由杨辉三角知，第1行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C；第n行中的数是C，C，C，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为23，则CC23，解之得n34.答案：34二项展开式中系数的和例2(10分)设(12x)2 013a0a1xa2x2a2 013x2 013(xR)(1)求a0的值；(2)求a1a2a3a2 013的值；(3)求a1a3a5a20 13的值思路点拨可在已知的等式中分别取x0,1，1，得各系数和、差的关系，进而求解精解详析(1)在等式(12x)2 013a0a1xa2x2a2 013x2 013中，令x0，得1a0.a01.(3分)(2)在等式中，令x1，得1a0a1a2a2 013，a1a2a2 0132.(6分)(3)令x1，x1，得相减，得132 0132(a1a3a2 013)(8分)a1a3a2 013(122 013)(10分)一点通(1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数的和为f(1)，奇次项系数和为f(1)f(1)，偶次项系数和为f(1)f(1)3(12x)15的展开式中的各项系数和是()A1B1C215 D315解析：令x1时(1)151.答案：B4若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)|a0|a1|a7|.解：(1)令x0，则a01.令x1，则a0a1a727128，a1a2a7129.(2)令x1，则a0a1a6a7(4)7，由得，2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78256.(3)Tr1C(3x)7r(1)r，a2k1>0(kN)，a2k<0(kN)|a0|a1|a7|a0a1a2a3a6a74716 384.解决与杨辉三角有关的问题的注意事项：(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解(2)注意二项式系数性质CC，CCC的应用1(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是()A2 048B1 023C1 024 D1 024解析：令f(x)(x1)11，偶次项系数之和是1 024.答案：C2若CxCx2Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()Ax4，n3 Bx4，n4Cx5，n4 Dx6，n5解析：由CxCx2Cxn(1x)n1分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有x5，n4适合答案：C3若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A10 B20C30 D120解析：由2n64，得n6，Tk1Cx6kkCx62k(0k6，kN)由62k0，得k3.T4C20.答案：B4在4的展开式中各项系数之和是16.则a的值是()A2 B3C4 D1或3解析：由题意可得(a1)416，a1±2，解得a1或a3.答案：D5若(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为_解析：令x1，则原式可化为(1)212×(1)192a0a1(21)a11(21)11，a0a1a2a112.答案：26若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为_解析：(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a2a4a1a3)·(a0a2a4a1a3)(a0a1a2a3a4)·(a0a1a2a3a4)，令x1，则a0a1a2a3a4(2)4，令x1，则a0a1a2a3a4(2)4(2)4，于是(2)4·(2)41.答案：17已知(13x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项解：由题意知CCC121，即CCC121，1n121，即n2n2400，解得n15或16(舍)在(13x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项且T8C(3x)7C37x7，T9C(3x)8C38x8.8对二项式(1x)10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项(2)求展开式中各二项式系数之和(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T6C(x)5252x5.(2)CCCC2101 024.(3)设(1x)10a0a1xa2x2a10x10.令x1，得a0a1a2a100.令x0，得a01.a1a2a101.
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