2020高中数学北师大版必修四教学案：第三章 167;2　第1课时 两角差的余弦函数　两角和与差的正弦、余弦函数 Word版含答案

北师大版 2019-2020 学年数学精品资料 第 1 课时 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数 核心必知 两角和与差的余弦、正弦公式 公式 简记 cos()cos_cos_sin_sin_ (C) cos()cos_cos_sin_sin_ (C) sin()sin_cos_cos_sin_ (S) sin()sin_cos_cos_sin_ (S) 问题思考 1cos()与 cos cos 相等吗？是否有相等的情况？ 提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候例如：当取0，60时，cos(060)cos 0cos 60. 2公式(C)和(S)中，对于角与的范围有没有规定？ 提示：在公式中，角与没有规定，即对任意角，公式都恒成立 讲一讲 1求下列各式的值： (1)sin 15cos 15； (2)cos 2512cos 116sin 1112sin 56. 尝试解答 (1)法一：sin 15sin(4530) sin 45cos 30cos 45sin 30 22322212 6 24. cos 15cos(4530) cos 45cos 30sin 45sin 30 22322212 6 24. sin 15cos 156 246 2462. 法二：sin 15cos 15 2(22sin 1522cos 15) 2(sin 15cos 45cos 15sin 45) 2sin(1545) 2sin 6062. (2)原式cos(212)cos(26)sin(12)sin(6) cos 12cos 6sin 12sin 6 cos(126)cos 422. 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分拆角、凑角转化为和、差角的正弦、余弦公式，同时注意公式的活用、逆用， “大角”要利用诱导公式化为“小角” 练一练 1求 cos 105sin 195的值 解：cos 105sin 195 cos 105sin(90105) cos 105cos 1052cos 105 2cos(6045) 2(cos 60cos 45sin 60sin 45) 2(12223222)2 62. 讲一讲 2已知234，cos()1213，sin()35.求 cos 2的值 尝试解答 234， 04，32， sin() 1cos2（） 112132513， cos() 1sin2（） 135245. cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() 451213(35)5136365. 解答此类题目要注意以下两点： (1)拆拼角技巧 先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知角表示所求角，避免对已知条件用公式，造成不必要的麻烦常见的拆角、拼角技巧：()；()；2()()；22； (2)确定相关角的范围 2()()；42(4)等 若题目中给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值 练一练 2. 已知 cos6121362，求 cos . 解：由于 063，cos(6)1213， 所以 sin(6)513. 所以 cos cos66 cos6cos 6sin6sin 6 1213325131212 3526. 讲一讲 3已知，是锐角，且 sin 473，cos()1114.求角. 尝试解答 是锐角，且 sin 4 37， cos 1sin2 1（4 37）217. 又cos()1114，均为锐角， sin() 1cos2（）5 314， sin sin() sin()cos cos()sin 5 31417(1114)4 3732. 3. 1解决该类问题实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角 2解给值求角问题的步骤 (1)求解的某一个三角函数； (2)确定角的范围； (3)据范围写出角 练一练 3已知，均为锐角，sin 55，cos 1010，求. 解： ，均为锐角， sin 55， cos 1010， sin 3 1010， cos 2 55.sin()sin cos cos sin 5510102 553 101022. 又22.4. 在ABC中，sin A35，cos B513，求 cos C的值 错解 cos B513，B为锐角， sin B 1cos2B1213.sin A35，0A， 当A为锐角时， cos A 1sin2A45， cos Ccos(AB) cos(AB) sin Asin Bcos Acos B 1665； 当A为钝角时，cos A 1sin2A45， cos Ccos(AB) sin Asin Bcos Acos B 5665. 错因 错解在于没有结合题中隐含的角的范围，判断出A为钝角时不成立 在三角形中，一定要重视角的取值范围和题目中隐含的信息本题中，已知 sin A，cos B，在求出 cos A，sin B后，要想到用 sin(AB)或A，B的范围进行验证和选择 正解 cos B513，0B， sin B 1cos2B1213. sin A35，0A， cos A 1sin2A45. 当A为钝角时， sin A3523. 又cos B5133，AB. 这与三角形内角和ABC矛盾 cos A45. cos Ccos(AB)cos(AB) cos Acos Bsin Asin B455133512131665. 1cos 24cos 36cos 66cos 54的值是( ) A0 B.12 C.32 D12 解析：选 B 原式cos 24cos 36sin 24sin 36 cos(2436)cos 6012. 2若 cos 45，是第三象限的角，则 sin(4)( ) A7 210 B.7 210 C210 D.210 解析：选 A 是第三象限的角，且 cos 45， sin 35， sin(4)sin cos 4cos sin 4 22(3545) 7 210. 3已知 cos()35，sin 513，且(0，2)，(2，0)，则 sin 等于( ) A.3365 B.6365 C3365 D6365 解析：选 A (2，0)且 sin 513， cos 1213. 又(0，2)，(0，) 又 cos()35， sin()45. sin sin() sin()cos cos()sin 45121335(513)3365. 4求值：sin 285cos 105_ 解析：原式sin(36075)cos(18075) sin 75cos 75 2(cos 45cos 75sin 45sin 75) 2cos(4575) 2cos 12022. 答案： 22 5已知向量a a(12，32)，b b(sin x，cos x)，0 x，若a ab b12，则x_ 解析：a ab b12，12sin x32cos x12， 即 sin xcos 3cos xsin 312， sin(x3)12. 0 x，3x323. x36，故x6. 答案： 6 6已知 sin(4)513，求cos2sin2cos（4）的值 解：cos2sin2cos（4）（cos sin ）（cos sin ）22（cos sin ） 2(cos sin ) 2(22cos 22sin ) 2sin(4) 1013. 一、选择题 1(重庆高考)sin 47sin 17cos 30cos 17( ) A32 B12 C.12 D.32 解析：选 C 原式sin（3017）sin 17cos 30cos 17 sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30cos 17 sin 30cos 17cos 1712. 2在ABC中，若 sin(BC)2sin Bcos C，那么这个三角形一定是( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 解析：选 D sin(BC)2sin Bcos C， sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C 即 cos Bsin Csin Bcos C，sin(BC)0 又BC， BC0，BC. 3(湖南高考)函数f(x)sin xcos(x6)的值域为( ) A2，2 B 3， 3 C1，1 D.32，32 解析：选 B f(x)sin xcos(x6)sin x32cos x12sin x 3sin(x6)， sin(x6)1，1， f(x)值域为 3， 3 4已知 sin cos 1225，02，则 2cos(4)的值为( ) A.15 B15 C.75 D15 解析：选 C 2cos(4) 2(cos 4cos sin 4sin )cos sin ， 2cos(4)2(sin cos )212sin cos 1212254925.02， 20，440. 2cos(4)75. 二、填空题 5函数ysin xcos(x4)cos xsin(x4)的最小正周期T_ 解析：ysin(xx4)sin(2x4)，T22. 答案： 6在ABC中，A，B为锐角，且 sin A55，sin B1010，则AB_ 解析：A，B为锐角，cos A 1sin2A255， cos B 1sin2B31010. cos(AB)cos Acos Bsin Asin B 2553101055101022. 又 0AB，AB4. 答案：4 7(大纲全国卷)当函数ysin x 3cos x(0 x2)取最大值时，x_ 解析：ysin x 3cos x2sin(x3)，由 0 x23x3sin ， ，(0，2) 3. 答案：3 三、解答题 9已知函数f(x)4cos xsin(x6)1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间6，4上的最大值和最小值 解：(1)f(x)4cos xsin(x6)1 4cos x(32sin x12cos x)1 3sin 2xcos 2x2sin(2x6)， f(x)的最小正周期为. (2)6x4，62x623. 当 2x62，即x6时，f(x)取得最大值 2； 当 2x66，即x6时，f(x)取得最小值1. 10已知 04，434，cos435，sin34513，求 sin()的值 解：434， 240. sin(4) 1（35）245. 又04， 3434， cos(34) 1（513）21213. sin()cos(2) cos344 cos34cos4sin34sin4 121335513455665.