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北师大版2019-2020学年数学精品资料第二章2.4用向量讨论垂直与平行一、选择题1若平面，的一个法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，并且，则x的值为()ABC10D10答案D解析，它们的法向量也互相垂直，(1,2,4)·(x，1，2)0，解得x10，故选D2(2014·四川省成都七中期末)已知直线l过点P(1,0，1)且平行于向量a(2,1,1)，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是()A(1，4,2)B(，1，)C(，1，)D(0，1,1)答案D解析因为(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D3在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，给出下列结论：直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)其中正确的个数为()A1个B2个C3个D4个答案C解析DD1AA1，(0,0,1)；BC1AD1，(0,1,1)，直线AD平面ABB1A1，(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，错4已知平面内有一点A(2，1,2)，它的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1)B(1,3，)C(1，3，)D(1,3，)答案B解析要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即判断·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验对于选项A，(1,0,1)，则·n(1,0,1)·(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，(1，4，)，则·n(1，4，)·(3,1,2)0，故选B5已知直线l1的方向向量a(2,4，x)，直线l2的方向向量为b(2，y,4)，且l1l2，则xy()A1B1C0D无法确定答案A解析l1l2，ab，a·b0，44y4x0，即xy1.6若直线l的方向向量为a(1,1,1)，向量b(1，1,0)和向量c(0,1，1)所在的直线都与平面平行，则()AlBlClD以上都不对答案A解析(1,1,1)·(1，1,0)0，(1,1,1)·(0,1，1)0，ab，ac，又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面平行，l.二、填空题7已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，则实数x_，y_，z_.答案642617解析因为a，b，c两两垂直，所以a·bb·cc·a0，即，解得.8已知空间三点A(0,0,1)，B(1,1,1)，C(1,2，3)，若直线AB上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_答案(，1)解析设M(x，y，z)，又(1,1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意得x，y，z1，点M的坐标为(，1)三、解答题9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DCA(1)连接AC、AC交BD于G，ABCD为正方形，G为AC中点，连接EG.简解：又E为PC中点PAGE又GE平面BDE，PA平面BDEPA平面BDE(2)依题意，得B(a，a,0)，P(0,0，a)，E(0，)(a，a，a)又(0，)，故·00.PBDE.又EFPB，且EFDEE.PB平面EFD10如图， 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点，EFBDG.求证：平面B1EF平面BDD1B1.证明以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，0)，F(，2，0)，(0，4)，(，0)设平面B1EF的一个法向量为n(x，y，z)则n·y4z0，n·xy0.解得xy，zy，令y1得n(1,1，)，又平面BDD1B1的一个法向量为(2，2，0)，而n·1×(2)1×2()×00，即n.平面B1EF平面BDD1B1.一、选择题1如图，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60°，E为AC的中点，那么以下向量为平面ACD的法向量的是()ABCD答案B解析方法一：判断平面ACD的法向量，可以从平面ACD中找出，中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直设AD1，则BDCD1.因为ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，所以ABAC.又因为BAC60°，所以BC.所以BCD也是直角三角形，且BDCD，从而可得BD平面ACD2已知a(1,2，y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1Bx，y4Cx2，yDx1，y1答案B解析a2b(2x1,4,4y)，2ab(2x,3，2y2)，(a2b)(2ab)，3若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2，3,2)，则()Al1l2Bl1l2Cl1，l2相交但不垂直Dl1，l2的关系不能确定答案B解析a·b1×(2)2×3(2)×20，aBl1l2.4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(，)B(，)C(，)D(，)答案D解析(1,1,0)，(1,0,1)，(0，1,1)设平面ABC的一个单位法向量为u(x，y，z)，则u·0，u·0，得x，y，z之间的关系，且x2y2z21，求值即可二、填空题5已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_答案解析·2×(1)(1)×2(4)×(1)2240，则.·4×(1)2×200，则，A，平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量6如图，已知矩形ABCD，PAAB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_答案2解析先建立如图所示的空间直角坐标系，设|b，则A(0,0,0)，Q(1，b,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，所以(1，b，1)，(1，ab,0)，b2ab10.b只有一解，0，可得a2.三、解答题7如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由证明(1)以A为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)·×01×1(1)×10，B1E AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n ，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n(1，a)要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.8在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱DD1上是否存在点P，使得平面APC1平面ACC1？证明你的结论解析假设点P存在，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为a，DPm(0ma)，则由正方体的性质知，CC1BD，ACBD，CC1ACC，BD平面ACC1，因此，(a，a,0)是平面ACC1的一个法向量平面APC1平面ACC1，在平面APC1内或与平面APC1平行，存在实数x与y，使得xy.(a，a，a)，(a,0，m)，解得.点P存在，且当点P为DD1的中点时，平面APC1平面ACC1.
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