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新版数学北师大版精品资料第三章3.3第1课时 双曲线及其标准方程一、选择题1双曲线1的焦距为()A3B4C3D4答案D解析c2a2b210212，则2c4，故选D2已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|PB|3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为()A1BC2D4答案B解析如图，以AB为x轴，AB中点O为坐标原点建系|PA|PB|3P点轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支由图知|PO|最短为.3在方程mx2my2n中，若mn<0，则方程的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在y轴上的双曲线答案D解析方程mx2my2n可化为：1，mn<0，>0，方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线4已知F1、F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()ABCD答案C解析本题考查双曲线定义由|PF1|2|PF2|及|PF1|PF2|2知|PF2|2|PF1|4，而|F1F2|4，由余弦定理知cosF1PF2.5过双曲线1的焦点且与x轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为()AB4CD8答案C解析a23，b24，c27，c，该直线方程为x，由得y2，|y|，弦长为.6设P为双曲线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，则PF1F2的面积为()A6B12C12D24答案B解析由双曲线定义知|PF1|PF2|2又|PF1|PF2|32，|PF1|6，|PF2|4，由双曲线方程知a21，b212，c213，|F1F2|2c2，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2得PF1PF2，SPF1F2|PF1|·|PF2|×6×412.二、填空题7双曲线x21的两个焦点坐标是_答案(0，±)解析a22，b21，c23，c±，又焦点在y轴上8若方程1表示双曲线，则实数k的取值范围是_答案k>3或k<3解析当，即k>3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当，即k<3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线所以若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是k>3或k<3.总结反思错解中得到k>3的结果是不完整的，这是由于对双曲线标准方程理解不深刻，误认为该方程仅表示焦点在x轴上的双曲线，遗漏了焦点在y轴上的情况，事实上，若方程1表示双曲线，则应有pq>0.三、解答题9求与双曲线1共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程解析由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为1.由于点(3，2)在所求的双曲线上，从而有1.整理，得k210k560，k4或k14.又16k>0,4k>0，4<k<16.从而得k4.故所求双曲线的方程为1.10若F1、F2是双曲线1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|32，求F1PF2的大小解析由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6.上式两边平方，得|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|3664100，由余弦定理，得cosF1PF20.F1PF290°.总结反思在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点另外，还经常结合2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意一、选择题1对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的形式，由mn>0，若mn，则方程 mx2ny21表示圆，故mn>0/方程mx2ny21表示椭圆，若mx2ny21表示椭圆mn>0，故原题为必要不充分条件，充分理解椭圆的标准方程是解决问题的关键2已知点F1(4,0)和F2(4,0)，曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线C的方程为()A1B1(y>0)C1或1D1(x>0)答案D解析由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：1(x>0)3已知双曲线1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上，且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为()ABCD答案C解析求出M点的坐标，写出直线MF2的方程，用点到直线的距离公式求解如图，由1知，F1(3,0)，F2(3,0)设M(3，y0)，则y0±，取M(3，)，直线MF2的方程为x6y0，即x2y30.点F1到直线MF2的距离为d.4已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2) 则双曲线的方程是()Ay21Bx21C1D1答案B解析PF1的中点坐标为(0,2)，P点坐标为(，4)，2a|PF1|PF2|642，a1又cb2()2124，方程为x21.二、填空题5已知双曲线x2y21，点F1、F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_答案2解析本题考查了双曲线的概念设|PF1|m，|PF2|n，根据双曲线的定义及已知条件可得|mn|2a2，m2n24c28，2mn4，(|PF1|PF2|)2(mn)2(mn)24mn12，|PF1|PF2|2.充分利用PF1PF2, 将|PF1|PF2|2a，转化到|PF1|PF2|是解决本题的关键6若双曲线x2y21右支上一点P(a，b)到直线yx的距离是，则ab_.答案解析由条件知，或，a>0且a>|b|，ab.三、解答题7.已知C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在直线上，且·0，2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程分析画出图形，由条件可得QM是AP的中垂线，先利用等腰三角形边长相等进行转化，然后利用双曲线的定义即可求出点Q的轨迹方程解析圆(x)2y24的圆心为C(，0)，半径r2.·0，2，MQAP，点M是AP的中点，即QM是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|QP|.|r2，又|2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.总结反思(1)本题是一个常考的利用圆锥曲线定义求解圆锥曲线方程的例子，用定义法求轨迹的方法小巧而精致，是近几年来高考的重点和热点(2)在本题的解答过程中，我们要有解题的预见性，从C(，0)，A(，0)两个点的对称性，我们应该优先考虑到圆锥曲线的定义，所以思维的入手点，应该去尝试动点到两个定点的距离之和或者是距离之差的绝对值，从而达到利用定义顺利解题的目的8已知椭圆1(a1>b1>0)与双曲线1(a2>0，b2>0)有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点(1)试用b1，b2表示F1PF2的面积；(2)当b1b2m(m>0)是常数时，求F1PF2的面积的最大值解析(1)如图所示，令F1PF2.因|F1F2|2c，则ababc2.即aabb.由椭圆、双曲线定义，得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2(令|PF1|>|PF2|)，所以|PF1|a1a2，|PF2|a1a2，cos.所以sin.所以SF1PF2|PF1|·|PF2|sin(aa)·b1b2.(2)当b1b2m(m>0)为常数时SF1PF2b1b2()2，所以F1PF2面积的最大值为.
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