新教材高中数学北师大版必修四教学案：第三章 167;2　第1课时 两角差的余弦函数　两角和与差的正弦、余弦函数 Word版含答案

（新教材）北师大版精品数学资料第 1 课时两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数核心必知两角和与差的余弦、正弦公式公式简记cos()cos_cos_sin_sin_(C)cos()cos_cos_sin_sin_(C)sin()sin_cos_cos_sin_(S)sin()sin_cos_cos_sin_(S)问题思考1cos()与 coscos相等吗？是否有相等的情况？提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候例如：当取0，60时，cos(060)cos 0cos 60.2公式(C)和(S)中，对于角与的范围有没有规定？提示：在公式中，角与没有规定，即对任意角，公式都恒成立讲一讲1求下列各式的值：(1)sin 15cos 15；(2)cos2512cos116sin1112sin56.尝试解答(1)法一：sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30223222126 24.cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30223222126 24.sin 15cos 156 246 2462.法二：sin 15cos 15 2(22sin 1522cos 15) 2(sin 15cos 45cos 15sin 45) 2sin(1545) 2sin 6062.(2)原式cos(212)cos(26)sin(12)sin(6)cos12cos6sin12sin6cos(126)cos422.解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分拆角、凑角转化为和、差角的正弦、余弦公式，同时注意公式的活用、逆用， “大角”要利用诱导公式化为“小角” 练一练1求 cos 105sin 195的值解：cos 105sin 195cos 105sin(90105)cos 105cos 1052cos 1052cos(6045)2(cos 60cos 45sin 60sin 45)2(12223222)2 62.讲一讲2已知234，cos()1213，sin()35.求 cos 2的值尝试解答234，04，32，sin() 1cos2（）112132513，cos() 1sin2（）135245.cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()451213(35)5136365.解答此类题目要注意以下两点：(1)拆拼角技巧先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知角表示所求角，避免对已知条件用公式，造成不必要的麻烦常见的拆角、拼角技巧：()；()；2()()；22；(2)确定相关角的范围2()()；42(4)等若题目中给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值练一练2. 已知 cos6 121362 ，求 cos.解：由于 063，cos(6)1213，所以 sin(6)513.所以 coscos6 6cos6 cos6sin6 sin61213325131212 3526.讲一讲3已知，是锐角，且 sin473，cos()1114.求角.尝试解答是锐角，且 sin4 37，cos 1sin21（4 37）217.又cos()1114，均为锐角，sin() 1cos2（）5 314，sinsin()sin()coscos()sin5 31417(1114)4 3732.3.1解决该类问题实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角2解给值求角问题的步骤(1)求解的某一个三角函数；(2)确定角的范围；(3)据范围写出角练一练3已知，均为锐角，sin55，cos1010，求.解： ，均为锐角， sin55， cos1010， sin3 1010， cos2 55.sin()sincoscossin5510102 553 101022.又22.4.在ABC中，sinA35，cosB513，求 cosC的值错解cosB513，B为锐角，sinB 1cos2B1213.sinA35，0A，当A为锐角时，cosA 1sin2A45，cosCcos(AB)cos(AB)sinAsinBcosAcosB1665；当A为钝角时，cosA 1sin2A45，cosCcos(AB)sinAsinBcosAcosB5665.错因错解在于没有结合题中隐含的角的范围，判断出A为钝角时不成立在三角形中，一定要重视角的取值范围和题目中隐含的信息本题中，已知 sinA，cosB，在求出 cosA，sinB后，要想到用 sin(AB)或A，B的范围进行验证和选择正解cosB513，0B，sinB 1cos2B1213.sinA35，0A，cosA 1sin2A45.当A为钝角时，sinA3523.又cosB5133，AB.这与三角形内角和ABC矛盾cosA45.cosCcos(AB)cos(AB)cosAcosBsinAsinB455133512131665.1cos 24cos 36cos 66cos 54的值是()A0B.12C.32D12解析：选 B原式cos 24cos 36sin 24sin 36cos(2436)cos 6012.2若 cos45，是第三象限的角，则 sin(4)()A7 210B.7 210C210D.210解析：选 A是第三象限的角，且 cos45，sin35，sin(4)sincos4cossin422(3545)7 210.3已知 cos()35，sin513，且(0，2)，(2，0)，则 sin等于()A.3365B.6365C3365D6365解析：选 A(2，0)且 sin513，cos1213.又(0，2)，(0，)又 cos()35，sin()45.sinsin()sin()coscos()sin45121335(513)3365.4求值：sin 285cos 105_解析：原式sin(36075)cos(18075)sin 75cos 75 2(cos 45cos 75sin 45sin 75) 2cos(4575) 2cos 12022.答案： 225已知向量a a(12，32)，b b(sinx，cosx)，0 x，若a ab b12，则x_解析：a ab b12，12sinx32cosx12，即 sinxcos3cosxsin312，sin(x3)12.0 x，3x323.x36，故x6.答案：66已知 sin(4)513，求cos2sin2cos（4）的值解：cos2sin2cos（4）（cossin） （cossin）22（cossin） 2(cossin)2(22cos22sin)2sin(4)1013.一、选择题1(重庆高考)sin 47sin 17cos 30cos 17()A32B12C.12D.32解析：选 C原式sin（3017）sin 17cos 30cos 17sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30cos 17sin 30cos 17cos 1712.2在ABC中，若 sin(BC)2sinBcosC，那么这个三角形一定是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形解析：选 Dsin(BC)2sinBcosC，sinBcosCcosBsinC2sinBcosC即 cosBsinCsinBcosC，sin(BC)0又BC，BC0，BC.3(湖南高考)函数f(x)sinxcos(x6)的值域为()A2，2B 3， 3C1，1D.32，32解析：选 Bf(x)sinxcos(x6)sinx32cosx12sinx 3sin(x6)，sin(x6)1，1，f(x)值域为 3， 34已知 sincos1225，02，则2cos(4)的值为()A.15B15C.75D15解析：选 C 2cos(4) 2(cos4cossin4sin)cossin， 2cos(4)2(sincos)212sincos1212254925.02，20，440. 2cos(4)75.二、填空题5函数ysinxcos(x4)cosxsin(x4)的最小正周期T_解析：ysin(xx4)sin(2x4)，T22.答案：6在ABC中，A，B为锐角，且 sinA55，sinB1010，则AB_解析：A，B为锐角，cosA 1sin2A255，cosB 1sin2B31010.cos(AB)cosAcosBsinAsinB2553101055101022.又 0AB，AB4.答案：47(大纲全国卷)当函数ysinx 3cosx(0 x2)取最大值时，x_解析：ysinx 3cosx2sin(x3)，由 0 x23x3sin，(0，2)3.答案：3三、解答题9已知函数f(x)4cosxsin(x6)1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间6，4 上的最大值和最小值解：(1)f(x)4cosxsin(x6)14cosx(32sinx12cosx)1 3sin 2xcos 2x2sin(2x6)，f(x)的最小正周期为.(2)6x4，62x623.当 2x62，即x6时，f(x)取得最大值 2；当 2x66，即x6时，f(x)取得最小值1.10已知 04，434，cos435，sin34513，求 sin()的值解：434，240.sin(4)1（35）245.又04，3434，cos(34)1（513）21213.sin()cos(2)cos344cos34cos4sin34sin41213 3551345 5665.