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（新教材）北师大版精品数学资料第三章3.2第1课时抛物线及其标准方程一、选择题1在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x2y3的距离相等的点的轨迹是()A直线B抛物线C圆D双曲线答案A解析点(1,1)在直线x2y3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x2y3垂直的直线2抛物线y28px(p>0)，F为焦点，则p表示()AF到准线的距离BF到准线距离的CF到准线距离的DF到y轴的距离答案B解析设y22mx(m>0)，则m表示焦点到准线的距离，又2m8p，p.3抛物线y2x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为()ABCD答案B解析设P(x0，y0)，则|PF|x0x02，x0，y0±.4一动点到点(3,0)的距离比它到直线x2的距离大1，则动点的轨迹是()A椭圆B双曲线C双曲线一支D抛物线答案D5(2014·新课标文)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4D8答案A解析本题考查抛物线的定义及标准方程由抛物线的定义知：|AF|x0x0，x01.6直线yx3与抛物线y24x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A48B56C64D72答案A解析联立解得A(1，2)，B(9,6)，则|AP|2，|BQ|10，|PQ|8，S梯形48.二、填空题7抛物线y28x的焦点F的坐标为_；若P为抛物线y28x上一点，点M的坐标是(4,2)，则|MP|FP|的最小值为_答案(2,0)6解析y22×4x，所以焦点坐标为(2,0)|PF|等于P点到抛物线y28x的准线的距离d，所以|PF|PM|的最小值等于M到抛物线准线的距离d426.8过抛物线y22px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_.答案2解析本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识直线AB：yx代入抛物线y22px，得x23px0，x1x23p，3pp8，p2.三、解答题9已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程(1)y26x；(2)2y25x0.分析先根据抛物线的标准方程形式，求出p，再根据开口方向，写出焦点坐标和准线方程解析(1)2p6，p3，开口向右则焦点坐标是(，0)，准线方程为x.(2)将2y25x0变形为y2x.2p，p，开口向右焦点为(，0)，准线方程为x.总结反思根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，即可写出焦点坐标和准线方程10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值解析解法一：设抛物线方程为y22px(p>0)，则焦点F，由题设可得解得或.故抛物线方程为y28x，m的值为±2.解法二：设抛物线方程为y22px(p>0)，则焦点F，准线方程为x.根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于5，也就是点M到准线的距离等于5，则35，p4，因此抛物线方程为y28x.又点M(3，m)在抛物线上，于是m224，m±2.总结反思解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化一、选择题1已知点M是抛物线y22px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A相交B相切C相离D以上三种情形都有可能答案B解析如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MDMF，ONOF，AB，这个圆与y轴相切2已知抛物线y22px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|P1F|P2F|P3F|B|P1F|2|P2F|2|P3F|2C2|P2F|P1F|P3F|D|P2F|2|P1F|·|P3F|答案C解析因为P1、P2、P3在抛物线上，且2x2x1x3，两边同时加上p，得2(x2)x1x3，即2|P2F|P1F|P3F|，故选C3(2014·万州市分水中学高二期中)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4答案C解析抛物线C的准线方程为x，焦点F(，0)，由|PF|4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP3，从而yP±2，SPOF|OF|·|yP|××22.4设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线焦点若B(3,2)，|PB|PF|的最小值为()A2B4C5D6答案B解析如图把点B的横坐标代入y24x中，得y±，因为>2，所以B在抛物线内部，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1.此时，由抛物线定义知：|P1Q|P1F|.那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即最小值为4.二、填空题5设抛物线y24x的焦点弦的两个端点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，若x1x26，那么|AB|_.答案8解析设焦点为F，由p2，利用焦半径公式，得|AB|AF|BF|(x1)(x2)x1x2p628.6沿直线y2发出的光线经抛物线y2ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为_(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)答案x2解析由直线y2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x2.三、解答题7过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，求A1FB1.解析如图所示，由抛物线的定义得，|AF|AA1|，|BF|BB1|，12，34，又1234A1AFB1BF360°，且A1AFB1BF180°，1234180°，2(24)180°，即2490°，故A1FB190°.8如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)、A(x1，y1)、B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率分析根据两直线倾角互补，kPAkPB，利用斜率公式求解解析(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px.点P(1,2)在抛物线上，222p·1，得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB则kPA(x11)，kPB(x21)PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.y12(y22)y1y24.由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，得y4x1，y4x2，由得直线AB的斜率kAB1(x1x2)总结反思解析几何问题要根据题中信息，结合题目特征，通过设而不求的方法进行解答
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