高中数学 第3章 2第2课时 最大值、最小值问题课时作业 北师大版选修22

2019版数学精品资料（北师大版）【成才之路】高中数学 第3章 2第2课时 最大值、最小值问题课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为()A BC D答案A解析f(x)xx3，f(x)13x2，令f(x)0得x(x舍去)，计算比较得最大值为f().2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为_km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小()A20B30C40D60答案A解析设船速为每小时x(x0)公里，燃料费为Q元，则Qkx3，由已知得：6k·103，k，即Qx3.记行驶每公里的费用总和为y元，则y(x396)·x2yx，令y0，即x0，解之得：x20.这就是说，该函数在定义域(0，)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元3已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()Am Bm>Cm Dm<答案A解析由f (x)2x36x20得，x0或x3，经检验知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.4若函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围为()A1,1) B2,1)C2，1) D(2，)答案B解析由于f(x)x21 ，易知函数在(，1上递减，在1,1上递增，1，)上递减，故若函数在(a,10a2)上存在最大值的条件为1a1或综上可知a的取值范围为2,1)5设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 BC D答案D解析本小题考查内容为导数的应用求函数的最小值令F(x)f(x)g(x)x2lnx，F(x)2x.令F(x)0，x，F(x) 在x处最小二、填空题6下列结论中正确的有_在区间a，b上，函数的极大值就是最大值；在区间a，b上，函数的极小值就是最小值；在区间a，b上，函数的最大值、最小值在xa和xb处取到；在区间a，b上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值答案解析由函数最值的定义知，均不正确，正确故填.7函数f(x)ax44ax3b(a>0)在1,4上的最大值为3，最小值为6，则ab_.答案解析f(x)4ax312ax2(a>0，x1,4)由f(x)0，得x0(舍)，或x3，可得x3时，f(x)取得最小值为b27A又f(1)b3a，f(4)b，f(4)为最大值由解得ab.8.设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_答案4解析本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x>0即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a，设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x) maxg4，从而a4；当x<0即x1,0，f(x)ax33x10可化为a，g(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.三、解答题9.(2014·江西理，18)已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围解析(1)当b4时，f(x)(x2)2的定义域为(，)，f (x)，由f (x)0得x2或x0.当x(，2)时，f (x)<0，f(x)单调递减；当x(2,0)时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f (x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x2取极小值f(2)0，在x0取极大值f(0)4.(2)f (x)，因为当x(0，)时，<0，依题意当x(0，)时，有5x(3b2)0，从而(3b2)0.所以b的取值范围为(，10.(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y4(x6)2，其中2<x<6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)解析(1)因为x4时，y21，代入关系式y4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y4(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2<x<6)，从而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f (x)0，得x，且在(0，)上，f (x)>0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f (x)<0，函数f(x)单调递减，所以x是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.一、选择题1给出下面四个命题：函数yx25x4，x1,1的最大值为10，最小值为；函数y2x24x1(2<x<4)的最大值为17，最小值为1；函数yx312x(3<x<3)的最大值为16，最小值为16；函数yx312x(2<x<2)无最大值，也无最小值其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个答案B解析正确2已知不等式对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围是()A(0,1 B(，1C0,2 D(0,2答案A解析令y，则y，可以验证当y0即kxe，x时，ymax，又y对于x0恒成立，得k1又kx0，x0，k0，0k1.3.(2014·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数yax2x与ya2x32ax2xa(aR)的图像不可能的是()答案B解析若a0时，两函数分别为yx和yx，选项D此时合适，若a0时，设f1(x)ax2x，设f2(x)a2x32ax2xaf2(x)3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，若a>0，易知f2(x)的极大值为f()a，极小值为f()a，而f1(x)图象此时开口向上，对称轴为x>0且f1()f1(0)，f2(0)a，A、C均适合(2)若a<0，f1(x)图象开口向下，对称轴为x<0 ，f()f1(0)<0，而f2()>a<0，比较知0>>a，也就是说当x时函数f2(x)图象为极大值而此时f1(x)图象对应的点应该在(，f2()上方，而B选项中显然右下方，因而B不可能4以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15C25 D50答案C解析如图，设NOB，则矩形面积S5sin·2·5cos50sin·cos25sin 2，故Smax25.二、填空题5.已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：函数f(x)在区间(1，)上是增函数；函数f(x)在区间(1,1)上无单调性；函数f(x)在x处取得极大值；函数f(x)在x1处取得极小值其中正确的说法有_答案解析从图像上可以发现，当x(1，)时，xf(x)>0 ，所以f(x)>0，故f(x)在(1，)上是增函数，正确；当x(1,1)时，f(x)<0，所以函数f(x)在(1，1)上是减函数，所以，错误；当0<x<1时，f(x)在区间(0,1)上递减，而在(1，)上递增，故f(x)在x1处取极小值，故正确6.已知函数f(x)loga，当x1,4时，f(x)2恒成立，则a的取值范围是_答案1a4解析要使得当x1,4时，f(x)2恒成立，只需保证当x1,4时，f(x)min2即可，因此问题转化为先求函数f(x)loga在区间1,4上的最小值，再结合不等式求得a的取值范围考虑到f(x)loga的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f(x)的最小值，但要注意对底数a加以讨论令h(x)4x16，x1,4h(x)4，x1,4当1x2时，h(x)0，当2x4时，h(x)0.h(x)在1,2上是单调减函数，在2,4上是单调增函数，h(x)minh(2)32，h(x)maxh(1)h(4)36.当0a1时，有f(x)minloga36，当a1 时，有f(x)minloga32.当x1,4时，f(x)2恒成立，f(x)min2.满足条件的a的值满足下列不等式组：或不等式组的解集为空集，解不等式组得1a4.综上所述，满足条件的a的取值范围是：1a4.三、解答题7.(2014·全国大纲，22)函数f(x)ln(x1)(a>1)讨论f(x)的单调性；解析f(x)的定义域为(1，)，f(x).当1<a<2时，若x(1，a22a)，则f(x)>0，f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)<0，f(x)在(a22a,0)是减函数；若x(0，)，则f(x)>0，f(x)在(0，)是增函数当a2时，f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，f(x)在(1，)是增函数当a>2时，若x(1,0)，则f(x)>0，f(x)在(1,0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)<0，f(x)在(0，a22a)是减函数；若x(a22a，)，则f(x)>0，f(x)在(a22a，)是增函数8.设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)<对任意x>0成立分析(1)先求f(x)，写出g(x)，对g(x)求导，g(x)>0求得增区间，g(x)<0求得减区间；(2)作差构造函数h(x)g(x)g()，对h(x)求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解解析(1)f(x)lnx，f(x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)<0，(0,1)是g(x)的单调减区间当x(1，)时，g(x)>0.(1，)是g(x)的单调增区间因此当x1时g(x)取极小值，且x1是唯一极值点，从而是最小值点所以g(x)最小值为g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g()，当x(0,1)(1，)时h(x)<0，h(1)0，所以h(x)在(0，)单调递减当x(0,1)时，h(x)>h(1)0，即g(x)>g()当x(1，)时，h(x)<h(1)0，即g(x)<g()综上知，当x(0,1)时，g(x)>g()，当x1时，g(x)g()当x(1，)时，g(x)<g()(3)由(1)可知g(x)最小值为1，所以g(a)g(x)<对任意x>0成立等价于g(a)1<，即lna<1，解得0<a<e.所以a的取值范围是(0，e)点评本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等