高中数学北师大版必修四教学案：第二章 167;2 第2课时 向量的减法 Word版含答案

2019年北师大版精品数学资料第2课时向量的减法核心必知1相反向量(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量记作：a(2)相反向量的性质00，(a)a；a(a)(a)a0；如果a，b互为相反向量，那么ab，ba，ab02向量的减法定义向量a加上b的相反向量，叫作向量a与b的差，即aba(b)求两个向量差的运算，叫作向量的减法.作法如果把向量a与b的起点放在O点，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是ab.图示问题思考1向量减法的实质是什么？提示：向量减法的实质是加法的逆运算，即aba(b)2如何运用三角形法则进行向量的减法运算？提示：如已知向量a，b，求ab，在平面内任取一点O，作a，b，连接AB，则ab.讲一讲1已知向量a，b，c求作向量abc.尝试解答 法一：在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab.再作c，连接BC，则abc即为所求(如图)法二：在平面内任取一点O，作a，b，以OA，OB为邻边，作OACB，连接OC，则ab.再作c，连接CD.则abc即为所求(如图)法三：在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab.再作c，连接OC.则abc即为所求(如图)1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，就可以把减法化为加法在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减向量”即可2以向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住3三角形法则和平行四边形法则对于向量的减法同样适用练一练1如图，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试作向量abc.讲一讲2化简下列各式：1计算向量的加减法时应谨记以下口诀：(1)加法口诀：首尾相接，箭头从始点指向最后一个终点(2)减法口诀：始点相同连接终点，箭头指向被减向量2多个向量作加减运算时，应把首尾相连的放在一起计算，起点相同的放在一起计算必要时，可画出图形，结合图形观察，将使问题更为直观练一练讲一讲3已知ABCD中，ABC60，设a，b，若|a|ab|2，求|ab|的值 尝试解答依题意，|ab|2，而|a|2，ABC60，ABC是等边三角形BCAB.ABCD为菱形，ACBD，|a|2(|ab|)2(|ab|)2即41，|ab|2.本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义，一般地，若a，b是两个不共线的向量，在平面内任取一点A作a，b，以AB、AD为邻边作ABCD，那么ab，ab.恰当地构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|ab|的关系，灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键练一练3已知非零向量a，b满足|a|1，|b|1，且|ab|4，求|ab|的值解：所以OAB是以AOB为直角的直角三角形，从而OAOB，所以OACB是矩形根据矩形的对角线相等有4，即|ab|4.如图，四边形ABCD为平行四边形，.试用a，b，c表示向量.错解cba.错因错误地使用了向量的减法法则，误认为，在应用三角形法则作向量减法时，应注意“连接两向量终点，箭头指向被减向量”abc.1在四边形ABCD中，设等于()AabcBabcCb(ac) Dbac解析：选Abac.4已知|a|1，|b|2，|ab|，则|ab|_解析：()21222.以a，b为邻边的平行四边形为矩形，那么|ab|ab|.答案： 5给出下列运算：，正确，不正确答案： 6如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解：法一：如图，在平面内任取一点O，作b，则ab，再作c，则abc.法二：如图，在平面内任取一点O，作b，则ab，再作c，连接OC，则abc.一、选择题ABC D3如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()4a与b是非零向量，下列结论正确的是()A|a|b|ab| B|a|b|ab|C|a|b|ab| D|a|b|ab|解析：选D当a，b共线时，若a，b同向，则|ab|a|b|，a，b反向时，|ab|a|b|；当a，b不共线时，如图有：|ab|a|b|.故|a|b|ab|.二、填空题5若菱形ABCD的边长为2，则_.答案：26若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：其中所有正确的式子的序号是_答案：7在ABCD中，b，|a|b|2，BAD120，则|ab|_.解析：如图，依题意ABCD是菱形，DAO60，DOADsin 602，故|ab|2DO2.答案：28. 如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，c，试用a，b，c表示_.abc.答案：abc三、解答题9如图，在正五边形ABCDE中，若c，e，求作向量acbde.解：acbde(ab)(cde).如图，连接AC，并延长至点F，使CFAC，则.所以，即为所求作的向量acbde.10. 如图，ABCD中，b， (1)用a、b表示；(2)当a、b满足什么条件时，ab与ab的所在直线互相垂直？(3)当a、b满足什么条件时，|ab|ab|.(4)ab与ab有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)ab.(2)由(1)知ab，ab.ab与ab的所在直线垂直，即ACBD.又ABCD为平行四边形，四边形ABCD为菱形，即a、b应满足|a|b|.(3)|ab|ab|，即|.矩形的对角线相等当a与b的所在直线垂直时，满足|ab|ab|.(4)不可能，因为ABCD的两对角线不可能平行，因此ab与ab不可能为共线向量，也就不可能为相等向量