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精编北师大版数学资料4二项分布 某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)问题2：X0表示何意义？求其概率提示：X0表示3次都没投中，只有C1种情况，P(X0)C3.问题3：X2呢？提示：X2表示3次中有2次投中，有C3种情况，每种情况发生的可能性为2.从而P(X2)C2.二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1p；(3)各次试验是相互独立的用X表示这n次试验中成功的次数，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为XB(n，p)1P(Xk)Cpk(1p)nk.这里n为试验次数，p为每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数2判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立 服从二项分布的随机变量的概率计算例1在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：(1)全部活到70岁的概率；(2)有2个活到70岁的概率；(3)有1个活到70岁的概率思路点拨每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分布公式可求精解详析设3个投保人中活到70岁的人数为X，则XB(3,0.6)，故P(Xk)C0.6k(10.6)3k(k0,1,2,3)(1)P(X3)C0.63(10.6)00.216；即全部活到70岁的概率为0.216.(2)P(X2)C0.62(10.6)0.432.即有2个活到70岁的概率为0.432.(3)P(X1)C0.6(10.6)20.288.即有1个活到70岁的概率为0.288.一点通要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生1将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是()A.B.C. D.解析：由题意，出现正面的次数XB，出现3个正面1个反面的概率为P(X3)C3.答案：D2甲每次投资获利的概率是p0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：(1)有5次获利的概率；(2)6次都获利的概率解：用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B(6,0.8)，且(1)P(X5)C0.85(10.8)0.39，他5次获利的概率约等于0.39.(2)P(X6)C0.860.26.他6次都获利的概率约等于0.26.3甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C3.(2)乙至少击中目标2次的概率为C2C3.(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则AB1B2，B1，B2为互斥事件P(A)P(B1)P(B2)C2C3C3C3.服从二项分布的随机变量的分布列例2(12分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数求(1)随机变量X的分布列；(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率思路点拨求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率精解详析(1)由题意XB，则P(X0)C03，(3分)P(X1)C12，(4分)P(X2)C21，(5分)P(X3)C30.(6分)X的分布列为Xk0123P(Xk)(8分)(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”因此有P(X1)1P(X0)1.(12分)一点通解决这类问题一般步骤：(1)判断所述问题是否是相互独立试验；(2)建立二项分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列4设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X3)等于()AC2 BC2C.2 D.2解析：P(X3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P(X3)2.答案：C5某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列解：由题意，得到的次品数XB(2,0.05)，P(X0)C0.9520.902 5；P(X1)C0.050.950.095；P(X2)C0.0520.002 5.因此，次品数X的分布列如下：Xk012P(Xk)0.902 50.0950.002 56射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运动员进行2轮比赛(1)求该运动员得4分的概率为多少？(2)若该运动员所得分数为X，求X的分布列解：(1)记“运动员得4分”为事件A，则P(A).(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X0)P(X4)，P(X1)P(X3)C3C3，P(X2)44422.X的分布列为Xk01234P(Xk)1各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件2二项式(1p)pn的展开式中，第k1项Tk1C(1p)nkpk，可见P(Xk)Cpk(1p)nk就是二项式(1p)pn的展开式中的第k1项 1若XB，则P(X2)()A.B.C. D.解析：XB，P(X2)C24.答案：D2在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为()A. B.C. D.解析：事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1Cp0(1p)4.所以1p，p.答案：A3某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为()A. B.C. D.解析：至少有2次击中目标包含以下情况：只有2次击中目标，此时概率为C0.62(10.6)，3次都击中目标，此时的概率为C0.63，至少有2次击中目标的概率为.答案：A4甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X，若甲先投，则P(Xk)等于()A0.6k10.4 B0.24k10.76C0.4k10.6 D0.76k10.24解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.60.40.24，至少有一人中的概率为0.76.所以P(Xk)的概率是前k1轮两人均未中，第k轮时至少有一人中，则P(Xk)0.24k10.76.答案：B5设XB(2，p)，若P(X1)，则p_.解析：XB(2，p)，P(Xk)Cpk(1p)2k，k0,1,2.P(X1)1P(X1)1P(X0)1Cp0(1p)21(1p)2.由P(X1)，得1(1p)2，结合0p1，得p.答案：6某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是_解析：每粒种子的发芽概率为，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：C22.答案：7某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为P1；(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数XB(5，)，故所求其概率为P(X3)C32.8(四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)由题意，P(X0)C3，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C3.所以，随机变量X的概率分布列为X0123P
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