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常考问题18二项式定理及数学归纳法来源:中教网真题感悟(20xx江苏卷)设数列an：1，2，2,3,3,3，4，4，4，4，(1)k1k，(1)k1k，即当n(kN*)时，an(1)k1k，记Sna1a2an(nN*)对于lN*，定义集合Pln|Sn是an的整数倍，nN*，且1nl(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2 000中元素的个数解(1)由数列an的定义得a11，a22，a32，a43，a53，a63，a74，a84，a94，a104，a115，所以S11，S21，S33，S40，S53，S66，S72，S82，S96，S1010，S115，从而S1a1，S40a4，S5a5，S62a6，S11a11，所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证：Si(2i1)i(2i1)(iN*)事实上，当i1时，Si(2i1)S33，i(2i1)3，故原等式成立；假设im时成立，即Sm(2m1)m(2m1)，则im1时 ，S(m1)(2m3)Sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)4m3(2m25m3)(m1)(2m3)综合可得Si(2i1)i(2i1)于是S(i1)(2i1)Si(2i1)(2i1)2i(2i1)(2i1)2(2i1)(i1)由上可知Si(2i1)是2i1的倍数，而ai(2i1)j2i1(j1,2，2i1)，所以Si(2i1)jSi(2i1)j(2i1)是ai(2i1)j(j1,2，2i1)的倍数又S(i1)(2i1)(i1)(2i1)不是2i2的倍数，而a(i1)(2i1)j(2i2)(j1,2，2i2)，所以S(i1)(2i1)jS(i1)(2i1)j(2i2)(2i1)(i1)j(2i2)不是a(i1)(2i1)j(j1,2，2i2)的倍数，故当li(2i1)时，集合Pl中元素的个数为13(2i1)i2，于是，当li(2i1)j(1j2i1)时，集合Pl中元素的个数为i2j.又2 00031(2311)47，故集合P2 000中元素的个数为312471 008.考题分析来源:高考对本内容的考查主要有：(1) 二项式定理的简单应用，B级要求；(2)数学归纳法的简单应用，B级要求1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn，上式中右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中C(r1,2,3，n)叫做二项式系数，式中第r1项叫做展开式的通项，用Tr1表示，即Tr1Canrbr；(2)(ab)n展开式中二项式系数C(r1,2,3，n)的性质：来源:中国教育出版网与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CC；CCCC2n；CCCC2n1.2二项式定理的应用(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”(2)二项式展开式的通项公式Tr1Canrbr是展开式的第r1项，而不是第r项3数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可4数学归纳法的应用(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法(3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由nk成立，推导nk1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把nk1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳猜想证明”的思维模式热点一二项式定理的应用【例1】 (20xx苏北四市调研)已知an(1)n(nN*)(1)若anab(a，bZ)，求证：a是奇数；(2)求证：对于任意nN*都存在正整数k，使得an.证明(1)由二项式定理，得anCCC()2C()3C()n，所以aCC()2C()412C22C，来源:中教网因为2C22C为偶数，所以a是奇数(2)由(1)设an(1)nab(a，bZ)，则(1)nab，所以a22b2(ab)(ab)(1)n(1)n(12)n，当n为偶数时，a22b21，存在ka2，使得anab，当n为奇数时，a22b21，存在k2b2，使得anab，综上，对于任意nN*，都存在正整数k，使得an.规律方法 二项式系数的最大项与展开式系数的最大项不同，本题的第r1项的二项式系数是C，而展开式系数却是2rC，解题时要分清【训练1】 (20xx南京模拟)已知数列an的首项为1，p(x)a1C(1x)na2Cx(1x)n1a3Cx2(1x)n2anCxn1(1x)an1Cxn(1)若数列an是公比为2的等比数列，求p(1)的值；(2)若数列an是公比为2的等差数列，求证：p(x)是关于x的一次多项式(1)解法一由题设知，an2n1.p(1)1C(1)02n2C(1)12n122C(1)22n22nC(1)n20C(2)02nC(2)12n1C(2)22n2C(2)n20(22)n0.法二若数列an是公比为2的等比数列，则an2n1，故p(x)C(1x)nC(2x)(1x)n1C(2x)2(1x)n2C(2x)n1(1x)C(2x)n(1x)2xn(1x)n.所以p(1)0.(2)证明若数列an是公差为2的等差数列，则an2n1.p(x)a1C(1x)na2Cx(1x)n1anCxn1(1x)an1CxnC(1x)n(12)Cx(1x)n1(14)Cx2(1x)n2(12n)CxnC(1x)nC1nx(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn2Cx(1x)n12Cx2(1x)n2Cxn由二项式定理知，来源:C(1x)nCx(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)xn1.来源:中,国教,育出,版网因为kCknnC，所以Cx(1x)n12Cx2(1x)n2nCxn来源:数理化网nCx(1x)n1nCx2(1x)n2nCxnnxC(1x)n1Cx(1x)n2Cxn1nx(1x)xn1nx，所以p(x)12nx.即p(x)是关于x的一次多项式热点二数学归纳法的应用【例2】 (2013苏锡常镇模拟)记的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中nN*.(1)求an；(2)是否存在常数p，q(pq)，使bn，对nN*，n2恒成立？证明你的结论解(1)根据多项式乘法运算法则，得an1.(2)计算得b2，b3.代入bn，解得p2，q1.下面用数学归纳法证明bn(n2且nN*)当n2时，b2，结论成立来源:设nk时成立，即bk，则当nk1时，bk1bk来源:来源:.由可得结论成立规律方法 运用数学归纳法证明命题P(n)，由P(k)成立推证P(k1)成立，一定要用到条件P(k)，否则不是数学归纳法证题【训练2】 (20xx江苏卷)已知ABC的三边长都是有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数(1)证明设三边长分别为a，b，c，cos A，a，b，c是有理数，b2c2a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，必为有理数，cos A是有理数(2)证明当n1时，显然cos A是有理数；当n2时，cos 2A2cos2A1，因为cos A是有理数，cos 2A也是有理数；假设当nk(k2)时，结论成立，即cos kA、cos(k1)A均是有理数当nk1时，cos(k1)Acos kAcos Asin kAsin Acos kAcos Acos(kAA)cos(kAA)cos kAcos Acos(k1)Acos(k1)A解得：cos(k1)A2cos kAcos Acos(k1)Acos A，cos kA，cos(k1)A均是有理数，2cos kAcos Acos(k1)A是有理数，来源:中_教_网z_z_s_tepcos(k1)A是有理数即当nk1时，结论成立综上所述，对于任意正整数n，cos nA是有理数.备课札记：
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