精编高中数学北师大版选修22学案：第3章 章末分层突破 Word版含解析

精编北师大版数学资料 章末分层突破章末分层突破 自我校对 单调性与极值 单调性 极值 导数 最大值、最小值问题 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求函数的定义域，并求导； (2)研究导函数 f(x)的符号，解不等式 f(x)0 或 f(x)0，得 0 x1， 令 f(x)1. f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，). 再练一题 1.已知函数 f(x)x3ax1，讨论 f(x)的单调区间. 【解】 f(x)3x2a. (1)当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(，)上为增函数. (2)当 a0 时，令 3x2a0，得 x3a3， 当 x3a3或 x0； 当3a3x3a3时，f(x)0 时， f(x)在，3a3，3a3， 上为增函数，在3a3，3a3上为减函数. 利用导数研究函数的极值与最值 导数是求函数极值与最值的最有力工具，求函数极值的一般步骤为： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)解方程 f(x)0 的根； (3)检验 f(x)0 的根的两侧 f(x)的符号. 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是 f(x)的极值点. 对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可. 已知函数 f(x)x3ax2b 的图像上一点 P(1，0)，且在点 P 处的切线与直线 3xy0 平行. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值； (3)在(1)的结论下，关于 x 的方程 f(x)c 在区间1，3上恰有两个相异的实根，求实数 c 的取值范围. 【精彩点拨】 (1)由f（1）0，f（1）3，求出 a，b 即可. (2)对 t 分 0t2 与 2t3 两种情况求最值. (3)构造函数 g(x)f(x)c 转化为 g(x)在1，3上有实根求解. 【规范解答】 (1)因为 f(x)3x22ax，曲线在 P(1，0)处的切线斜率为 f(1)32a，即 32a3，a3. 又函数过(1，0)点，即2b0，b2. 所以 a3，b2，f(x)x33x22. (2)由 f(x)x33x22，得 f(x)3x26x. 由 f(x)0，得 x0 或 x2. 当 0t2 时，在区间(0，t)上 f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以 f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22. 当 2t3 时，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0，2) 2 (2，t) t f(x) 0 0 f(x) 2 单调递减 极小值2 单调递增 t33t22 f(x)minf(2)2，f(x)max为 f(0)与 f(t)中较大的一个. f(t)f(0)t33t2t2(t3)0. 所以 f(x)maxf(0)2. (3)令 g(x)f(x)cx33x22c， g(x)3x26x3x(x2). 在 x1，2)上，g(x)0.要使 g(x)0 在1，3上恰有两个相异的实根，则g（1）0，g（2）0，g（3）0，解得2c0. 再练一题 2.已知函数 f(x)x312xm. (1)若 xR，求函数 f(x)的极大值与极小值之差； (2)若函数 yf(x)有三个零点，求 m 的取值范围； (3)当 x1，3时，f(x)的最小值为2，求 f(x)的最大值. 【解】 (1)f(x)3x212. 当 f(x)0 时，x2 或 x2. 当 f(x)0 时，2x2. 当 f(x)0 时，x2 或 x2. f(x)在(，2)，(2，)上单调递减，在(2，2)上单调递增. f(x)极小值f(2)16m. f(x)极大值f(2)16m. f(x)极大值f(x)极小值32. (2) 由 (1) 知 要 使 函 数 y f(x) 有 三 个 零 点 ， 必 须f（x）极小值0，f（x）极大值0，即16m0，16m0， 16m16. m 的取值范围为(16，16). (3)当 x1，3时，由(1)知 f(x)在1，2)上单调递增，f(x)在2，3上单调递减，f(x)的最大值为 f(2). 又 f(1)11m，f(3)m9， f(1)f(3)， 在1，3上 f(x)的最小值为 f(1)11m， 11m2，m9. 当 x1，3时，f(x)的最大值为 f(2)(2)3122925. 导数的实际应用 利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中，由 f(x)0 常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在 x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值. 请你设计一个包装盒， 如图 3- 1 所示， ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AEFBx(cm). 图 3- 1 (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【精彩点拨】 根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于 x 的函数，利用配方法或导数法求出最值. 【规范解答】 设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 a 2x，h602x2 2(30 x)，0 x0；当 x(20，30)时，V0. 所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值. 此时ha12，即包装盒的高与底面边长的比值为12. 再练一题 3.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y1128 000 x3380 x8(0 x120).已知甲、乙两地相距 100 千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【解】 当速度为 x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为 h(x)升，依题意得 h(x)1128 000 x3380 x8 100 x11 280 x2800 x154(0 x120). h(x)x640800 x2x3803640 x2(0 x120)， 令 h(x)0，得 x80. 因为 x(0，80)时，h(x)0，h(x)是增函数， 所以当 x80 时，h(x)取得极小值 h(80)11.25(升). 因为 h(x)在(0，120上只有一个极小值，所以它是最小值. 答：汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升. 函数与方程的思想 函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，证明时灵活构造函数关系， 尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可转化为证明 F(x)f(x)g(x)与 0 的关系，若 F(x)0，则函数 F(x)在(a，b)上是增函数.若 F(a)0， 则由增函数的定义， 知当 x(a， b)时， 有 F(x)F(a)0，即 f(x)g(x)成立，同理可证明 f(x)g(x)，x(a，b). 设函数 f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值. (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 x0，3，都有 f(x)0； 当 x1，2时，f(x)0. 所以当 x1 时， f(x)取得极大值 f(1)58c， 当 x2 时， f(x)取得极小值 f(2)48c，又 f(0)8c，f(3)98c. 所以当 x0，3时，f(x)的最大值为 f(3)98c. 因为对于任意的 x0，3，有 f(x)c2恒成立， 所以 98cc2，解得 c9. 故 c 的取值范围为 c9. 再练一题 4.(2016 山东威海一模)已知函数 f(x)ln xaxbx，对任意的 x(0，)，满足 f(x)f1x0，其中 a，b 为常数. (1)若 f(x)的图象在 x1 处的切线经过点(0，5)，求 a 的值； (2)已知 0a0. 【解】 (1)在 f(x)f1x0 中，取 x1， 得 f(1)0， 又 f(1)ln 1abab，所以 ba. 从而 f(x)ln xaxax， f(x)1xa11x2，f(1)12a. 又 f(1)5f（1）015， 所以 12a5，a2. (2)证明：fa22ln a22a322a 2ln a2aa32ln 2. 令 g(x)2ln x2xx32ln 2， 则 g(x)2x2x23x223x44（x1）2x2. 所以，x(0，1)时， g(x)g(1)212ln 21ln e0. 所以 0a0. 1.(2015 全国卷)设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(，1)(0，1) B.(1，0)(1，) C.(，1)(1，0) D.(0，1)(1，) 【解析】 设 yg(x)f（x）x(x0)， 则 g(x)xf（x）f（x）x2， 当 x0 时，xf(x)f(x)0， g(x)0，g(x)0 时，f(x)0，0 x1， 当 x0，g(x)0，x0 成立的 x 的取值范围是(， 1)(0，1)，故选 A. 【答案】 A 2.(2015 福建高考)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)1，其导函数 f(x)满足 f(x)k1，则下列结论中一定错误的是( ) A.f1k1k1 C.f1k1kk1 【解析】 令 g(x)f(x)kx1，则 g(0)f(0)10， g1k1f1k1k1k11f1k11k1. g(x)f(x)k0，g(x)在0，)上为增函数. 又k1，1k10，g1k1g(0)0， f1k11k10，即 f1k11k1. 【答案】 C 3.(2015 全国卷)设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a1，若存在唯一的整数 x0使得 f(x0)0，则 a 的取值范围是( ) A.32e，1 B.32e，34 C.32e，34 D.32e，1 【解析】 f(0)1a0，x00. 又x00 是唯一的使 f(x)0 的整数， f（1）0，f（1）0， 即e12（1）1aa0，e（211）aa0，解得 a32e. 又a1，32ea1，经检验 a34，符合题意.故选 D. 【答案】 D 4.(2016 北京高考)设函数 f(x)x33x，xa，2x，xa. (1)若 a0，则 f(x)的最大值为_； (2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_. 【解析】 由当 xa 时，f(x)3x230，得 x 1. 如图是函数 yx33x 与 y2x 在没有限制条件时的图象. (1)若 a0，则 f(x)maxf(1)2. (2)当 a1 时，f(x)有最大值； 当 aa 时无最大值， 且2a(x33x)max，所以 a1. 【答案】 2 af(0)1. 所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20. (2)g(x)（x2）exa（x2）x3x2x3(f(x)a). 由(1)知，f(x)a 单调递增. 对任意 a0，1)，f(0)aa10，f(2)aa0. 因此，存在唯一 xa(0，2，使得 f(xa)a0， 即 g(xa)0. 当 0 xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增. 因此 g(x)在 xxa处取得最小值，最小值为 g(xa)exaa（xa1）x2aexaf（xa）（xa1）x2aexaxa2. 于是 h(a)exaxa2. 由exx2（x1）ex（x2）20，得 yexx2单调递增， 所以，由 xa(0，2，得 12e002h(a)exaxa2e222e24. 因为 yexx2单调递增，对任意 12，e24，存在唯一的 xa(0，2，af(xa)0，1)，使得 h(a). 所以 h(a)的值域是12，e24. 综上，当 a0，1)时，g(x)有最小值 h(a)，h(a)的值域是12，e24. 章末综合测评章末综合测评(三三) 导数应用导数应用 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.物体运动的方程为 s14t43，则 t5 时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625 【解析】 vst3，t5 时的瞬时速度为 53125. 【答案】 C 2.函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是( ) A.(，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，) 【解析】 f(x)(x2)ex，由 f(x)0，得 x2，所以函数 f(x)的单调递增区间是(2，). 【答案】 D 3.函数 f(x)ax3x1 有极值的充要条件是( ) A.a0 B.a0 C.a0 D.a0，f(x)单调增加，无极值； 当 a0 时，只需 12a0，即 a0 即可. 【答案】 D 4.(2016 西安高二检测)函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如图 1 所示，那么 f(x)的图像最有可能的是( ) 图 1 A B C D 【解析】 数形结合可得在(，2)，(1，)上，f(x)0，f(x)是增函数，从而得出结论. 【答案】 B 5.若函数 ya(x3x)的递增区间是，33，33， ，则 a 的取值范围是( ) A.a0 B.1a1 D.0a0 的解集为，33，33， ，a0. 【答案】 A 6.若函数 f(x)在 R 上可导，且满足 f(x)xf(x)0，则( ) A.3f(1)f(3) C.3f(1)f(3) D.f(1)f(3) 【解析】 由于 f(x)xf(x)，f（x）xf（x）xf（x）x20 恒成立， 因此f（x）x 在 R 上是单调递减函数，f（3）3f(3)，故选 B. 【答案】 B 7.若函数 f(x)x33x29xa 在区间2，1上的最大值为 2，则它在该区间上的最小值为( ) A.5 B.7 C.10 D.19 【解析】 f(x)3x26x93(x1)(x3)， 所以函数在2，1内单调递减， 所以最大值为 f(2)2a2， a0，最小值为 f(1)a55. 【答案】 A 8.函数 y12x2sin x 的图像大致是( ) 【解析】 因为 y122cos x， 所以令 y122cos x0， 得 cos x14，此时原函数是增函数； 令 y122cos x14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项 C 正确. 【答案】 C 9.若 f(x)12x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是( ) 【导学号：94210067】 A.1，) B.(1，) C.(，1 D.(，1) 【解析】 f(x)xbx2，由题意知 f(x)0 在(1，)上恒成立，即bx22x 在(1，)上恒成立，即 b(x1)21，则 b1，故选 C. 【答案】 C 10.已知 yf(x)是定义在 R 上的函数，且 f(1)1，f(x)1，则 f(x)x 的解集是( ) A.(0，1) B.(1，0)(0，1) C.(1，) D.(，1)(1，) 【解析】 不等式 f(x)x 可化为 f(x)x0， 设 g(x)f(x)x，则 g(x)f(x)1， 由题意 g(x)f(x)10， 函数 g(x)在 R 上单调递增，又 g(1)f(1)10， 原不等式g(x)0g(x)g(1)， x1，故选 C. 【答案】 C 11.当 x2，1时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A.5，3 B.6，98 C.6，2 D.4，3 【解析】 当 x0 时，ax3x24x30 变为 30 恒成立，即 aR. 当 x(0，1时，ax3x24x3，ax24x3x3， ax24x3x3max. 设 (x)x24x3x3， (x)（2x4）x3（x24x3）3x2x6 x28x9x4（x9）（x1）x40， (x)在(0，1上递增，(x)max(1)6. a6. 当 x2，0)时，ax24x3x3， ax24x3x3min. 仍设 (x)x24x3x3，(x)（x9）（x1）x4. 当 x2，1)时，(x)0. 当 x(1，0)时，(x)0. 当 x1 时，(x)有极小值，即为最小值. 而 (x)min(1)14312，a2. 综上知6a2. 【答案】 C 12.已知函数 f(x)x22xaln x，若函数 f(x)在(0，1)上单调，则实数 a 的取值范围是( ) A.a0 B.a0 或 a4 【解析】 f(x)2x2ax，x(0，1)， f(x)在(0，1)上单调， f(x)0 或 f(x)0 在(0，1)上恒成立， 2x2ax0 或 2x2ax0 在(0，1)上恒成立， 即 a2x22x 或 a2x22x 在(0，1)上恒成立. 设 g(x)2x22x2x12212，则 g(x)在(0，1)上单调递减， g(x)maxg(0)0，g(x)ming(1)4. ag(x)max0 或 ag(x)min4. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上) 13.(2016 天津高考)已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_. 【解析】 因为 f(x)(2x1)ex， 所以 f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex， 所以 f(0)3e03. 【答案】 3 14.函数 f(x)12ex(sin xcos x)在区间0，2上的值域为_. 【导学号：94210068】 【解析】 x0，2， f(x)excos x0， f(0)f(x)f2， 即12f(x)12e2. 【答案】 12，12e2 15.(2016 洛阳高二检测)已知函数 f(x)x3ax2bxa2，在 x1 时有极值10，则 ab_. 【解析】 f(x)3x22axb，f(1)2ab30，f(1)a2ab110，2ab3，a2ab9，解得a3，b3或a4，b11，当 a3 时， x1 不是极值点，a，b 的值分别为 4，11，ab7. 【答案】 7 16.周长为 20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_cm3. 【解析】 设矩形的长为 x，则宽为 10 x(0 x0， 当 x203，10 时，V(x)0，解得 a2 或 a0，解得 x3； 又令 f(x)0，解得1x0)有极大值52，求 m 的值. 【解】 f(x)3x2mx2m2 (xm)(3x2m)， 令 f(x)0，则 xm 或 x23m. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，m) m m，23m 23m 23m， f(x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 f(x)极大值f(m)m312m32m3452， m1. 20.(本小题满分 12 分)证明：当 x0 时，ln(x1)x12x2. 【证明】 设 f(x)ln(x1)x12x2ln(x1)x12x2，函数的定义域是(1，)， 则 f(x)1x11xx2x1. 当 x(1，)时，f(x)0， f(x)在(1，)上是增函数. 当 x0 时，f(x)f(0)0， 即当 x0 时，ln(x1)x12x2. 21.(本小题满分 12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关， 侧面的建造成本为 100 元/平方米， 底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100 2rh200rh(元)， 底面的总成本为 160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元. 又根据题意 200rh160r212 000， 所以 h15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3). 因为 r0，又由 h0 可得 0r5 3， 故函数 V(r)的定义域为(0，5 3). (2)因为 V(r)5(300r4r3)(0r0，故 V(r)在(0，5)上为增函数； 当 r(5，5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数. 由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8. 即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大. 22.(本小题满分12分)(2016 全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点. (1)求 a 的取值范围； (2)设 x1，x2是 f(x)的两个零点，证明：x1x22. 【解】 (1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a). 设 a0，则 f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点. 设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0； 当 x(1，)时，f(x)0， 所以 f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增. 又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b0 且 bln a2， 则 f(b)a2(b2)a(b1)2ab232b 0， 故 f(x)存在两个零点. 设 a0，由 f(x)0 得 x1 或 xln(2a). 若 ae2，则 ln(2a)1，故当 x(1，)时，f(x)0，因此 f(x)在(1，)内单调递增. 又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点. 若 ae2，则 ln(2a)1， 故当 x(1，ln(2a)时，f(x)0； 当 x(ln(2a)，)时，f(x)0. 因此 f(x)在(1，ln(2a)内单调递减， 在(ln(2a)，)内单调递增. 又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为(0，). (2)证明：不妨设 x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减， 所以 x1x22 等价于 f(x1)f(2x2)，即 f(2x2)0. 由于 f(2x2)x2e2x2a(x21)2， 而 f(x2)(x22)ex2a(x21)20， 所以 f(2x2)x2e2x2(x22)ex2. 设 g(x)xe2x(x2)ex， 则 g(x)(x1)(e2xex). 所以当 x1 时，g(x)0，而 g(1)0， 故当 x1 时，g(x)0. 从而 g(x2)f(2x2)0， 故 x1x22.