精编高中数学 第一章 推理与证明综合测试 北师大版选修22

精编北师大版数学资料【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 推理与证明综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点答案C解析正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选C2不等式ab与同时成立的充要条件为()Aab0Ba0bC0 D0答案B解析a0b，故选B.3否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A有一个解 B有两个解C至少有三个解 D至少有两个解答案C解析至少有两个解包含：有两解，有一解，无解三种情况4已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D解析f(n)f(n)中共有n2n1项f(2)5数列an中前四项分别为2，则an与an1之间的关系为()Aan1an6 B3Can1 Dan1答案B解析观察前四项知它们分子相同，分母相差6，为等差数列6已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)答案B解析依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n组整数对的和为n1，且有n个整数对这样前n组一共有个整数对注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，为(5,7)故选B.7设a、b、c都是正数，则a，b，c三个数()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2答案D解析abc(a)(b)(c)a、b、c都是正数，a2，b2，c2，当且仅当a1，b1，c1时取等号abc6a，b，c至少有一个不小于2.8把1,3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是()A27B28C29D30答案B解析第一个三角形数是1，第二个三角形数是123，第三个三角形数是1236，第四个三角形数是123410，因此，由归纳推理得第n个三角形数是1234n.由此可以得出第七个三角形数是28.9(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A BC D答案C解析将ABC的三条边长a、b、c类比到四面体PABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，VS1rS2rS3rS4r，r.10(2015·陕西文，10)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析pf()ln ln (ab)；qf()ln ；r(f(a)f(b)ln (ab)，因为，由f(x)ln x是个递增函数，f()f()，所以qpr，故答案选C 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11.(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是_答案S2SSS解析类比如下：正方形正方体；截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2SSS.证明如下：如图，作OE平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，LOOM，LOON，LO平面MON，MN平面MON，LOMN，OEMN，MN平面OFL，SOMNMN·OF，SMNEMN·FE，SMNLMN·LF，OF2FE·FL，S(MN·OF)2(MN·FE)·(MN·FL)SMNE·SMNL，同理SSMLE·SMNL，SSNLE·SMNL，SSS(SMNESMLESNLE)·SMNLS，即SSSS2.12f(n)1(nN*)，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32).推测：当n2时，有_答案f(2n)解析由前几项的规律可得答案13.函数yloga(x3)1(a>0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn>0，则的最小值为_答案8解析yloga(x3)1(a>0且a1)的图像恒过定点A(2，1)又点A在直线mxny10上，2mn1.又mn>0，m>0，n>0.2mn12，当且仅当2mn，即m，n时取等号，mn.8.14若数列an中，a11，a235，a37911，a413151719，则a10_.答案1 000解析前10项共使用了12341055个奇数，a10为由第46个到第55个奇数的和，即a10(2×461)(2×471)(2×551)1 000.15(2014·陕西文，14)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN， 则f2014(x)的表达式为_答案解析f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f2014(x).应寻求规律，找出解析式三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知a>0，b>0，求证：.证明证法一：(综合法)a>0，b>0，2，当且仅当ab时取等号，同理：2，当且仅当ab时取等号22，即.证法二：(分析法)要证，只需证：abab，只需证：abab0，而a()b()()()20，当且仅当ab时取等号，所以.证法三：(反证法)假设当a>0，b>0时，<.由<，得<0，即<0，当a>0，b>0时，显然不成立，假设不成立故.17在ABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由证明如图(1)所示，由射影定理AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.猜想：类比ABAC，ADBC猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD.则.如图(2)，连结BE交CD于F，连结AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，故猜想正确18已知数列an，a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式分析利用不完全归纳法猜想归纳出an，然后用数学归纳法证明解题的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak1和Sk与Sk1之间的关系解析(1)由已知，得a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，an.(2)证明当n2时，a25×2225，表达式成立当n1时显然成立，下面用数学归纳法证明n2时结论亦成立假设nk(k2，kN)时表达式成立，即ak5×2k2，则当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2ak55105×2k255×2k15×2(k1)2.故当nk1时，表达式也成立由可知，对一切n(n2，nN)都有an5×2n2.19.在圆x2y2r2(r>0)中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有kAC·kBC1.你能用类比的方法得出椭圆1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明解析类比得到的结论是：在椭圆1(a>b>0)中，A，B分别是椭圆长轴的左右端点，点P(x，y)是椭圆上不同于A，B的任意一点，则kAP·kBP证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(x0，y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP·kBP·.由于A，B，P三点在椭圆上，两式相减得，0，即kAP·kBP.故在椭圆1(a>b>0)中，长轴两个端点为A，B，P为异于A，B的椭圆上的任意一点，则有kAP·kBP.20.已知二次函数f(x)ax2bxc(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：2<b<1.解析(1)证明：f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的一个根又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根(2)解：假设<c.由>0，当0<x<c时，f(x)>0，知f()>0，与f()0矛盾，c，又c，>c.(3)证明：由f(c)0，得acb10，b1ac.又a>0，c>0，b<1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x<x2，即<.又a>0，b>2，2<b<1.21.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图像上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN)，证明：对任意的nN，不等式···>成立解析(1)因为对任意nN，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图像上，所以Snbnr.当n1时，a1S1br，当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，an(b1)bn1.(2)证明：当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，则，所以·······.下面用数学归纳法证明不等式：···>.当n1时，左边，右边，因为>，所以不等式成立假设当nk(kN)时，不等式成立，即····>.则当nk1时，左边·····>·>，所以当nk1时，不等式也成立由可得，不等式对任何nN都成立，即···>恒成立