精编高中数学 第一章 计数原理单元综合测试 北师大版选修23

精编北师大版数学资料【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理单元综合测试 北师大版选修2-3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A250B240C252D300答案C解析要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C252种2某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有()A30种B36种C42种D48种答案C解析本题考查排列组合的基本知识，涉及分类，分步计算原理、特殊元素、特殊位置甲在16日，有CC24种；甲在15日，乙在15日有C6种甲在15日，乙在14日时有CC12种，所以总共2461242，故选C.3(1x)7的展开式中x2的系数是()A42B35C28D21答案D解析展开式中第r1项为Tr1Cxr，T3Cx2，x2的系数为C21，此题误认为Tr1为第r项，导致失分4A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有()A60种B48种C36种D24种答案D解析把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A24种5设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m()A5B6C7D8答案B解析ac，bc，又13a7b，13(m1)7(2m1)，m6.6.如图，一圆形花圃内有5块区域，现有4种不同颜色的花从4种花中选出若干种植入花圃中，要求相邻两区域不同色，种法有()A324种B216种 C244种D240种答案D解析若1、4同色，共有C33272(种)若1、4不同色(里面分2与4同色不同色)，共有A2(1322)168(种)所以一共有16872240(种)7一排9个座位坐了3个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33!B3(3！)3C(3！)4D9!答案C解析本题考查捆绑法排列问题由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法3！，三个家庭即(3！)3，三个家庭又可全排列，因此(3！)4注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题8(xy)4的展示式中x3y3的系数为()A4B5C6D8答案C解析本题考查二项展开式的通项公式，以及二项展开式中项的系数(xy)4的展开式中的第(r1)项Tr1C(1)r(x)4r(y)rC(1)rx4y2令43得r2展开式中x3y3的系数为C(1)26.9已知碳元素有3种同位素12C、13C、14C，氧元素也有3种同位素16O、17O、18O，则不同的原子构成的CO2分子有()A9种B27种C54种D81种答案B解析先选碳原子，再选第一个氧原子，最后选第二个氧原子根据乘法原理所以NCCC27种10.(2014福建理，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)答案A解析从5个无区别的红球中取出若干个球的所有情况为1aa2a3a4a5，从5个有区别的黑球中取出若干个球的所有情况为(1c)(1c)(1c)(1c)(1c)，而所有蓝球都取出或都不取出有1b5种情况，故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11若(x)8的展开式中x4的系数为7，则实数a_.答案解析由Tr1Cxr()8rCxa8r.令4，r5，则x4的系数为Ca37.解之得a.12若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则a1a2a3a4a5_(用数字作答)答案31解析已知(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，令x1，得(12)5a5a4a3a2a1a01，令x0，得(02)5a032，所以a1a2a3a4a531.13一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作直线的条数是_答案19解析为了作的直线条数最少，应出现3点或更多点共线的情况，由于直线与圆相离，应让圆上任意两点都与直线上的一点共线圆周上有4点能连成C6条直线，而直线上恰有6个点，故这10个点中最多有6个三点共线和1个六点共线的情况，因此最少可作直线C6CC6119(条)14某药品研究所研制了5种消炎药a1、a2、a3、a4、a5,4种退烧药b1、b2、b3、b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1、a2两种药必须同时使用，且a3、b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案有_种答案14解析当a1，a2两种药同时使用时，只要选一种退烧药即可，有4种实验方案；当取消炎药a3时，另一消炎药的选取有2种可能，退烧药的选取有3种可能，有236种实验方案；当取消炎药a4、a5时，只要选一种退烧药即可，有4种实验方案；相加即可15电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有_种不同的播放方式(结果用数值表示)答案48解析本题可以分两步完成：首尾必须播放公益广告的有2种；中间4个为不同的商业广告有A24种，从而有22448种不同的播放方式三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16(1)化简n(n1)(nm)；(2)求证：A5AA；(3)求n，使A10A.解析(1)由排列数公式的阶乘形式可得n(n1)(nm)A.(2)证明：A5A7654357654(35)765487654A，故等式得证(3)由A10A得2n(2n1)(2n2)10n(n1)(n2)，即4n(2n1)(n1)10n(n1)(n2)，4(2n1)10(n2)(n3，n是正整数)，解得n8.17把4个男同志和4个女同志均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法？(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同分配方法？解析(1)男女合在一起共有8人，每辆车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一辆车，共有C种，再上第二车共有C种，再上第三车共有C种，最后上第四车共有C种，这样不同分配方法，按分步计数原理有CCCC2520(种)(2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A种不同方法，同理，女同志也有A种方法，由分步计数原理，男女各1人上车的不同分配方法为AA576(种)(3)男女分别分组，4个男的平分成两组共有3(种)，4个女的分成两组也有3(种)不同分法，这样分组方法就有339(种)，对于其中每一种分法上4部车，又有A种上法，因而不同分配方法为9A216(种)18把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放(1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？(2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？解析(1)小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)共计有8种不同的放置方法(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1、x2、x3，显然有：x1x2x37，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令yixi1(i1,2,3)由y1y2y310，问题又成为求不定方程y1y2y310的正整数解的组数的问题，在10个1中间9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，不定方程的解有C36组有36种放置方法19.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从中任意抽出3件检查，(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？解析(1)所求的不同抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有C161700(种)(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的这件事，可以分两步完成第一步：从2件次品中任取1件，有C种方法；第二步：从98件正品中任取2件，有C种方法根据分步乘法计数原理知，不同的抽取方法共有CC247539506(种)(3)方法一：抽出的3件中至少有一件是次品的这件事，分为两类：第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有CC种；第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有CC种根据分类加法计数原理，不同的抽法共有CCCC9506989604(种)方法二：从100件产品中任取3件的抽法有C种，其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法共有CC1617001520969 604(种)反思总结本题考查了计数原理和组合知识的应用20.求(x23x2)5的展开式中x项的系数解析方法一：因为(x23x2)5(x2)5(x1)5(Cx5Cx42C25)(Cx5Cx4C)展开后x项为Cx24CC25Cx240x.所以(x23x2)5展开式中x项的系数为240.方法二：因为(x23x2)5x2(3x2)5，设Tr1C(x2)5r(3x2)r，在(3x2)r中，设Tk1C(3x)rk2k，Tr1C(x2)5rC(3x)rk2kCC3rk2kx10rk，依题意可知10rk1，即rk9.又0kr5，r，kN，所以r5，k4.则Tr1CC324x240x.所以(x23x2)5展开式中x项的系数为240.方法三：把(x23x2)5看成5个x23x2相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x,4个因式取2相乘得到，即C3xC24240x.所以(x23x2)5展开式中x项的系数为240.反思总结本题考查利用转化的思想求三项展开式的特定项三项式求特定项的思路有：(1)分解因式法：通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后再用二项式定理分别展开(2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开(3)利用组合知识：把三项式看成几个因式的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后应把各个同类项相合并21.已知n(nN*)的展开式的各项系数之和等于5的展开式中的常数项，求n的展开式中a1项的二项式系数解析对于5：Tr1C(4)5rrC(1)r45r5b.若Tr1为常数项，则105r0，所以r2，此时得常数项为T3C(1)2435127.令a1，得n展开式的各项系数之和为2n.由题意知2n27，所以n7.对于7：Tr1C7r()rC(1)r37ra.若Tr1为a1项，则1，所以r3.所以n的展开式中a1项的二项式系数为C35.