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精编北师大版数学资料*§6正态分布 1正态分布正态分布的分布密度函数为：f(x)e，x(，)，其中表示均值，2(>0)表示方差通常用XN(，2)表示X服从参数为和2的正态分布2正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线x对称(2)(0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”(3)正态变量在三个特殊区间内取值的概率值P(X)68.3%；P(2X2)95.4%；P(3X3)99.7%.通常服从于正态分布N(，2)的随机变量X在区间(3，3)外取值的概率只有0.3%.1正态分布完全由参数和确定，因此可把正态分布记作N(，2)2要正确理解，的含义若XN(，2)，则EX，DX2，即为随机变量X取值的均值，2为其方差 正态曲线及性质例1设XN(1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(X5)思路点拨首先确定1，2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解精解详析因为XN(1,22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.683.(2)因为P(X5)P(X3)，所以P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954)0.023.一点通对于正态分布N(，2)，由x是正态曲线的对称轴知，(1)对任意的a，有P(Xa)P(Xa)；(2)P(Xx0)1P(Xx0)；(3)P(aXb)P(Xb)P(Xa)1已知随机变量X服从正态分布N(4，2)，则P(X4)()A.B.C. D.解析：由正态分布密度函数的性质可知，4是该函数图像的对称轴，P(X4)P(X4).答案：D2如图所示，是一个正态分布密度曲线试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为，所以20，解得.于是概率密度函数的解析式为f(x)e，x(，)总体随机变量的期望是20，方差是2()22.正态分布在实际生活中的应用例2(8分)在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即XN(90,100)(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人？思路点拨精解详析XN(90,100)，90，10.(2分)(1)P(70<X<110)P(902×10<X<902×10)0.954，即成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954.(5分)(2)P(80<X<100)P(9010<X<9010)0.683，2 000×0.6831 366(人)即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有1 366人 (8分)一点通解答此类问题的关键有两个：(1)熟记随机变量的取值位于区间(，)，(2，2)，(3，3)内的概率值；(2)根据已知条件确定问题所在的区间，并结合三个特殊区间上的概率值求解3一批电阻的阻值X服从正态分布N(1 000,52)()今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 和982 ，可以认为()A甲、乙两箱电阻均可出厂B甲、乙两箱电阻均不可出厂C甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂D甲电阻箱不可出厂，乙电阻箱可出厂解析：XN(1 000,52)，1 000，5，31 0003×5985，31 0003×51 015.1 011(985,1 015)，982(985,1 015)甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂答案：C4(湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.求p0的值(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有800，50，P(700<X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800<X900)P(700<X900)0.977 2.5某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的学生占多少？(2)成绩在8090之间的学生占多少？解：(1)设学生的得分为随机变量X，XN(70,102)，如图所示，则70，10，P(7010<X<7010)0.683，不及格的学生的比为×(10.683)0.158 5，即成绩不及格的学生占15.85%.(2)成绩在8090之间的学生的比为P(50<X<90)P(60<X<80)×(0.9540.683)0.135 5，即成绩在8090之间的学生占13.55%.1正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计2因为P(3<X<3)0.997，所以正态总体X几乎总取值于区间(3，3)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.003，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 1 设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图像如图所示，则有2 ()A1<2，1<2B1<2，1>2C1>2，1<2 D1>2，1>2解析：根据正态分布的性质：对称轴方程x，表示总体分布的分散与集中由图可得，1<2，1<2.答案：A2已知XN(0,62)，且P(2X0)0.4，则P(X>2)等于()A0.1 B0.2C0.6 D0.8解析：由正态分布曲线的性质知P(0X2)0.4，P(2X2)0.8，P(X>2)(10.8)0.1.答案：A3在正常情况下，工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(，2)在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(3，3)这个尺寸范围的零件个数可能为()A70个 B100个C30个 D60个解析：正态总体N(，2)落在(3，3)内的概率为0.997，因此不属于(3，3)的概率为0.003，所以在一次正常的试验中，取10 000个零件时不属于(3，3)这个尺寸范围的零件个数可能为30个左右答案：C4如果随机变量XN(，2)，且EX3，DX1，则P(0<X1)等于()A0.021 5 B0.723C0.215 D0.64解析：由EX3，DX21，XN(3,1)P(3<X<3)P(0<X<6)0.997，P(2<X<2)P(1<X<5)0.954，P(0<X<6)P(1<X<5)2P(0<X1)0.043.P(0<X1)0.021 5.答案：A5若随机变量XN(2,100)，若X落在区间(，k)和(k，)内的概率是相等的，则k等于_解析：由于X的取值落在(，k)和(k，)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线xk的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线xk对称，即k，而2.所以k2.答案：26已知随机变量X服从正态分布N(0，2)，P(X>2)0.023，则P(2X2)_.解析：P(X>2)0.023，P(X<2)0.023，故P(2X2)1P(X>2)P(X<2)0.954.答案：0.9547设XN(0,1)(1)求P(1<X1)；(2)求P(0<X2)解：(1)XN(0,1)时，1，1，所以P(1<X1)0.683.(2)22，22，正态曲线f(x)关于直线x0对称，所以P(0<X2)P(2<X2)×0.9540.477.8某厂生产的T型零件的外直径XN(10,0.22)，一天从该厂上午、下午生产的T型零件中随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常解：XN(10,0.22)，10，0.2.3103×0.29.4，3103×0.210.6.9.52(9.4,10.6)，9.98(9.4,10.6)，该厂全天的生产状况是正常的
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