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精编北师大版数学资料选修22综合测试时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1计算：()A1iB1iC1i D1i答案B解析1i.2用反证法证明命题“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”，假设应为()Aa，b都能被3整除 Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除 Da不能被3整除答案B解析“至少有一个”的否定为“一个也没有”3用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212，从nk到nk1时，等式左边应添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C(k1)2 D(k1)2(k1)21答案B解析当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212，当nk1时，左边1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，从nk到nk1，左边应添加的式子为(k1)2k2.4已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()答案B解析当x1时，y0，排除A；当x0时，y不存在，排除D；当x从负方向无限趋近于0时，y趋近于，排除C.故选B.5已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929答案D解析由等差数列的性质知，a1a9a2a82a5，故D成立6做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)1ex，则质点从x10，沿x轴运动到x21处，力F(x)所做的功是()AeBC2eD答案B解析由W(1ex)dx1dxexdxx|ex|11.7已知复数(x2)yi(x，yR)对应向量的模为，则的最大值是()A B C. D答案C解析由|(x2)yi|，得(x2)2y23，此方程表示如图所示的圆C，则的最大值为切线OP的斜率由|CP|，|OC|2，得COP，切线OP的斜率为，故选C.8设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图像可能是()答案C解析本题考查导数的应用，函数的图象由f(x)在x2处取极小值知f(2)0且在2的左侧f(x)0，所以C项合适函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形，第n个图中有_个小正方形()A28， B14，C28， D12，答案A解析根据规律知第6个图形中有123456728.第n个图形中有12(n1).10.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是()Af(x)sinxcosx Bf(x)lnx2xCf(x)x32x1 Df(x)xex答案D解析若f(x)sinxcosx，则f(x)sinxcosx，在x(0，)上，恒有f(x)0；若f(x)lnx2x，则f(x)，在x(0，)上，恒有f(x)0；若f(x)x32x1，则f(x)6x，在x(0，)上，恒有f(x)0，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(2014北京理，9)复数()2_.答案1解析复数i，故()2i21.12用数学归纳法证明34n152n1能被14整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1应变形为_答案3434k15252k1解析nk时，34k152k1能被14整除，因此，我们需要将nk1时的式子构造为能利用nk的假设的形式.34(k1)152(k1)13434k15252k13452k13452k134(34k152k1)(5234)52k1，便可得证13在ABC中，D是BC的中点，则()，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_.答案在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则()14已知函数f(x)x3ax23ax1在区间(，)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是_答案(，0)(9，)解析由题意得y3x22ax3a0有两个不同的实根，故(2a)2433a0，解得a9.15.如图为函数f(x)的图像，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf(x)0的解集为_答案(3，1)(0,1)解析xf(x)0的解集为(3，1)(0,1)是f(x)的递减区间，f(x)0时，f(x)3kx26x3kx(x)f(x)的单调增区间为(，0)，(，)，单调减区间为(0，)(2)当k0时，函数f(x)不存在极小值当k0时，由(1)知f(x)的极小值为f()10，即k24，又k0，k的取值范围为(2，)18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.19.设a0且a1，函数f(x)x2(a1)xalnx.(1)当a2时，求曲线yf(x)在(3，f(3)处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极值点解析(1)由已知得x0.当a2时，f(x)x3，f(3)，所以曲线yf(x)在(3，f(3)处切线的斜率为.(2)f(x)x(a1).由f(x)0，得x1或xA当0a0，函数f(x)单调递增；当x(a,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa时f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点当a1时，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(1，a)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点综上，当0a1时，x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点20.(2014广东理)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解析(1)a1S12a2312412a27a1a2S24a3322424(S3a1a2)204(15a1a2)20，a1a28联立解得，a3S3a1a21587，综上a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，以下用数学归纳法证明：由(1)知，当n1时，a13211，猜想成立；假设当nk时，猜想成立，即ak2k1，则当nk1时，ak1ak(2k1)332k32(k1)1这就是说nk1时，猜想也成立，从而对一切nN*，an2n1.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB20 km，CB10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为y km.(1)设BAOrad，将y表示成的函数关系式；(2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小解析(1)延长PO交AB于点Q，则PQ垂直平分AB.若BAOrad，则OA，故OB.又OP1010tan，所以yOAOBOP1010tan.故所求函数关系式为y10(0)(2)y.令y0，得sin .因为0，所以.当0，)时，y0，则y是关于的增函数，所以当时，ymin10(1010)故当点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处时，三条排污管道的总长度最小
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