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课时规范练71数学归纳法课时规范练第113页一、选择题1.用数学归纳法证明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是() A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4来源:数理化网答案:C解析:左边表示从1开始,连续2n+1个正整数的和,故n=1时,表示1+2+3的和.2.用数学归纳法证明不等式+(n2,nN*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项但减少了一项D.以上各种情况均不对答案:C解析:当n=k+1时,不等式为+,比当n=k时增加了项.但最左端少了一项.3.用数学归纳法证明不等式1+成立时,起始值n至少应取为()A.7B.8C.9D.10答案:B解析:1+=2-,而1+,故起始值n至少取8.4.用数学归纳法证明:“(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.D.答案:B解析:当n=k时,等式为(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),当n=k+1时,等式为(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=2k+113(2k+1),左端增乘=2(2k+1).5.在数列an中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为()A.B.来源:C.D.答案:C解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2=,a3=,a4=.猜想an=.6.设函数f(n)=(2n+9)3n+1+9,当nN*时,f(n)能被m(mN*)整除,猜想m的最大值为()A.9B.18C.27D.36答案:D解析:f(n+1)-f(n)=(2n+11)3n+2-(2n+9)3n+1=4(n+6)3n+1,当n=1时,f(2)-f(1)=479为最小值,据此可猜想D正确.7.对于不等式n+1(nN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即1),则当n=k+1时,左端应乘上,这个乘上去的代数式共有因式的个数是.答案:2k-1解析:当n=k时,.当n=k+1时,.左边应乘上,设第一项a1=2k+1,an=2k+1-1,d=2,n=2k-1.三、解答题11.若n为大于1的自然数,求证:+.来源:解:(1)当n=2时,.(2)假设当n=k(kN*)时不等式成立,即+,那么当n=k+1时,+=+=.这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意大于1的自然数都成立.12.设数列an的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,.(1)求a1,a2;(2)猜想数列Sn的通项公式,并给出严格的证明.解:(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,于是-a2-a2=0,解得a2=.(2)由题设知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,即-2Sn+1-anSn=0.当n2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*)由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=.由(*)式可得S3=.由此猜想Sn=,n=1,2,3,.下面用数学归纳法证明这个结论.n=1时已知结论成立.假设n=k(kN*)时结论成立,即Sk=,当n=k+1时,由(*)得Sk+1=,即Sk+1=,故n=k+1时结论也成立.综上,由可知Sn=对所有正整数n都成立.来源:
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