三年模拟一年创新高考数学复习 第九章 第五节 抛物线及其性质 理全国通用

第五节第五节 抛物线及其性质抛物线及其性质 A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1(2015安庆二模)在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y24x的焦点重合的是( ) A.5x235y221 B.x29y251 C.x23y221 D.5x235y221 解析 抛物线y24x的焦点为(1，0)，右焦点与其重合的为 D 项 答案 D 2(2015杭州模拟)若点A的坐标是 (3，2)，F是抛物线y22x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|PF|取得最小值，则P点的坐标是( ) A(1，2) B(2，1) C(2，2) D(0，1) 解析 易知点A(3，2)在抛物线y22x的内部，由抛物线定义可知|PF|与P到准线x12的距离相等，则|PA|PF|最小时，P点应为过A作准线的垂线与抛物线的交点，故P的纵坐标为 2，横坐标为 2，故选 C. 答案 C 3(2015滨州模拟)若抛物线y28x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3，3)且与l相切的圆共有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 解析 由题意得F(2，0)，l：x2， 线段MF的垂直平分线方程为y323230 x52，则x3y70， 设圆的圆心坐标为(a，b)， 则圆心在x3y70 上，故a3b70，a73b， 由题意得|a(2)| （a2）2b2， 即b28a8(73b)，即b224b560.又b0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个 答案 B 二、填空题 4(2014郑州模拟)与抛物线y214x关于直线xy0 对称的抛物线的焦点坐标是_ 解析 y214x关于直线xy0 对称的抛物线为x214y， 2p14，p18，焦点为0，116. 答案 0，116 5(2014黄冈模拟)过点M(2，4)作与抛物线y28x只有一个公共点的直线l有_条 解析 容易发现点M(2，4)在抛物线y28x上，这样l过M点且与x轴平行时，l与抛物线有一个公共点，或者l在M点上与抛物线相切 答案 2 一年创新演练 6若抛物线y24x的焦点为F，过F且斜率为 1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y24x(y0)上，则PAB的面积的最小值为_ 解析 由题意得F(1，0)，直线AB的方程yx1. 由yx1，y24x，得x26x10. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x26，x1x21， |AB| 2 （x1x2）24x1x28. 设Py204，y0，则点P到直线AB的距离为y204y012， PAB的面积S12d|AB| 128y204y012（y02）222 2，(y00) 即PAB的面积的最小值是 2 2. 答案 2 2 7已知离心率为3 55的双曲线C：x2a2y241(a0)的左焦点与抛物线y2mx的焦点重合，则实数m_ 解析 由题意可得caa24a3 55，a 5，c3，所以双曲线的左焦点为(3，0)，再根据抛物线的概念可知m43，m12. 答案 12 B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 8(2015南京模拟)已知M是y14x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x1)2(y4)21 上，则|MA|MF|的最小值为( ) A2 B4 C8 D10 解析 抛物线x24y的准线为y1，圆心到y1 的距离d5，(|MA|MF|)min5r514. 答案 B 9(2014河南联考)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为3 24，则点A的坐标为( ) A(0，2) B(0，2) C(0，4) D(0，4) 解析 在AOF中，点B为边AF的中点， 故点B的横坐标为p4， 因此3 24p4p2，解得p 2， 故抛物线方程为y22 2x， 可得点B坐标为(24，1)， 故点A的坐标为(0，2) 答案 A 二、填空题 10(2014郑州二模)已知椭圆C：x24y231 的右焦点为F，抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的倾斜角为120，那么|PF|_. 解析 抛物线的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x1.因为直线AF的倾斜角为120，所以 tan 120yA11，所以yA2 3.因为PAl，所以yPyA2 3，代入y24x，得xA3，所以|PF|PA|3(1)4. 答案 4 11(2014海南海口 3 月)已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是_ 解析 由y28x知 2p8，p4，则点F的坐标为(2，0) 由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x2)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB) 又点A(8，8)在直线上，8k(82)，解得k43. 直线l的方程为y43(x2) 将代入y28x，整理得 2x217x80，则xAxB172，线段AB的中点到准线的距离是xAxB2p21742254. 答案 254 12(2014盐城模拟)设F为抛物线y24x的焦点，A，B为该抛物线上两点，若FA2FB0，则|FA|2|FB|_. 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由焦点弦性质，y1y2p2(*)， 由题意知FA2FB0， 得(x11，y1)2(x21，y2)(0，0)， y12y20，代入(*)式得y212p2，y212p2， x1p222，|FA|x1p23， 又|FA|2|FB|，2|FB|3， |FA|2|FB|6. 答案 6 一年创新演练 13已知抛物线y24ax(a0)的焦点为A，以B(a4，0)为圆心，|AB|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点 (1)求a的取值范围； (2)求|AM|AN|的值 解 (1)由题意知抛物线的焦点坐标为A(a，0)，则|AB|4，圆的方程为x(a4)2y216， 将y24ax(a0)代入上式，得 x22(a4)x8aa20， 4(a4)24(8aa2)0， 解得 0a1，即a(0，1) (2)A为焦点，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 根据(1)中的x22(a4)x8aa20，得x1x282a， |AM|AN|(x1a)(x2a)x1x22a82a2a8.