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学案15导数的综合应用导学目标： 1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题自主梳理1函数的最值(1)函数f(x)在a，b上必有最值的条件如果函数yf(x)的图象在区间a，b上_，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的_；将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解自我检测1函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为 ()A0a1B0a1C1a1D0a2(20xx汕头月考)设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ()3对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有 ()Af(0)f(2)2f(1)4(20xx新乡模拟)函数f(x)ex (sin xcos x)在区间上的值域为_5f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_探究点一求含参数的函数的最值例1已知函数f(x)x2eax (a0)，求函数在1,2上的最大值变式迁移1设a0，函数f(x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间a,2a上的最小值探究点二用导数证明不等式例2(20xx张家口模拟)已知f(x)x2aln x(aR)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，x2ln xln 21且x0时，exx22ax1.探究点三实际生活中的优化问题例3(20xx孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)变式迁移3甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)(1)将乙方的年利润(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想的应用例(12分)(20xx全国)已知函数f(x)(x1)ln xx1.(1)若xf(x)x2ax1，求a的取值范围；(2)证明：(x1)f(x)0.【答题模板】(1)解f(x)ln x1ln x，x0，xf(x)xln x1.由xf(x)x2ax1，得aln xx，令g(x)ln xx，则g(x)1，2分当0x0；当x1时，g(x)0，4分x1是最大值点，g(x)maxg(1)1，a1，a的取值范围为1，)6分(2)证明由(1)知g(x)ln xxg(1)1，ln xx10.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键)8分当0x1时，x10，f(x)(x1)ln xx1ln xxln xx1ln xx0，(x1)f(x)0.11分综上，(x1)f(x)0.12分【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题1求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(20xx皖南模拟)已知曲线C：y2x2x3，点P(0，4)，直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为 ()A1B1C2D22已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图所示，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是 ()3设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是 ()4函数f(x)x3x2txt在(1,1)上是增函数，则t的取值范围是 ()At5 Bt5Ct5Dt55(20xx沧州模拟)若函数f(x)，且0x1x2bBabCabDa、b的大小不能确定题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)7要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为_m3.8若函数f(x)在区间(m,2m1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围为_三、解答题(共38分)9(12分)已知函数f(x)(1x)2ln(1x)(1)求f(x)的单调区间；(2)若x1，e1时，f(x)0，试比较f(x)与g(x)的大小答案 自主梳理1(1)连续(2)极值端点值自我检测1B2.D3.C4.5.6课堂活动区例1解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f(x)0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况解f(x)x2eax (a0)，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)令f(x)0，即eax(ax22x)0，得0x.f(x)在(，0)，上是减函数，在上是增函数当02时，f(x)在1,2上是减函数，f(x)maxf(1)ea.当12，即1a2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf4a2e2.当2，即0a1时，f(x)在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)4e2a.综上所述，当0a2时，f(x)的最大值为ea.变式迁移1解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(a0)，由f(x)a0，得0xe；由f(x)e.故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减(2)f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，f(x)在a,2a上的最小值f(x)minminf(a)，f(2a)f(a)f(2a)ln，当02时，f(x)min.例2解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题(1)解f(x)x(x0)，若a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)的单调增区间为(0，)若a0时，令f(x)0，得x，函数f(x)的单调增区间为(，)，减区间为(0，)(2)证明设F(x)x3(x2ln x)，故F(x)2x2x.F(x).x1，F(x)0.F(x)在(1，)上为增函数又F(x)在(1，)上连续，F(1)0，F(x)在(1，)上恒成立F(x)0.当x1时，x2ln xln 21时，g(x)最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增，于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.例3解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x3a)(12x)2，x9,11(2)L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)令L0，得x6a或x12(不合题意，舍去)3a5，86a.在x6a两侧L的值由正变负当86a9，即3a时，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)当96a，即a5时，LmaxL(6a)(6a3a)12(6a)24(3a)3.所以Q(a)综上，若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)9(6a)(万元)；若a5，则当每件售价为(6a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)4(3a)3(万元)变式迁移3解(1)因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为2 000St.由S，令0，得tt0()2.当t0；当tt0时，0.所以当tt0时，取得最大值因此乙方获得最大利润的年产量为()2吨(2)设甲方净收入为v元，则vSt0.002t2.将t()2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v.又v，令v0，得S20.当S0；当S20时，v0，bd，且在(0，d)上f(b)0，在d，d上f(b)0.函数f(b)在bd处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长hd.7300解析设长为x m，则宽为(20x)m，仓库的容积为V，则Vx(20x)33x260x，V6x60，令V0得x10.当0x0；当x10时，V0，x10时，V最大300 (m3)8(1,0解析f(x)0，解得1x1.由已知得(m,2m1)1,1，即，解得11)(4分)f(x)在(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(6分)(2)令f(x)0，即x0，则x(1,0)0(0，e1)f(x)0f(x)极小值(9分)又f(1)1，f(e1)e211，又f(x)e21.(12分)10解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，(2分)再由C(0)8，得k40，因此C(x)，(4分)而建造费用为C1(x)6x.(5分)最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(6分)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)(8分)当0x5时，f(x)0，当5x0，(10分)故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元(12分)11解(1)f(x)ln x的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)ab0.(2分)又f(x)，g(x)a，且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，g(1)f(1)1，即ab1.(4分)由得a，b.(6分)(2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x)ln x(x)ln xx，F(x)(1)20.F(x)在(0，)上为减函数(10分)当0xF(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)综上，0xg(x)；x1时，f(x)g(x)；x1时f(x)g(x)(14分)
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