高考数学 文二轮复习教师用书:第1部分 重点强化专题 专题2 数列 突破点4 等差数列、等比数列 Word版含答案

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突破点4等差数列、等比数列核心知识提炼提炼1 等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列:ana1(n1)d;等比数列:ana1qn1.(2)求和公式等差数列:Snna1d;等比数列:Sn(q1)(3)性质若mnpq,在等差数列中amanapaq;在等比数列中amanapaq.提炼2 等差数列、等比数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法:(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义,证明an1an(nN*)为同一常数;利用中项性质,即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法利用定义,证明(nN*)为同一常数;利用等比中项,即证明aan1an1(n2).提炼3 数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f(n)an,利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要注意自变量的取值必须是正整数(2)利用数列的单调性求解,利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值(3)转化为关于n的不等式组求解,若求数列an的最大项,则可解不等式组若求数列an的最小项,则可解不等式组求出n的取值范围之后,再确定取得最值的项 高考真题回访回访1等差数列基本量的运算1(20xx全国卷)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10()A.BC10 D12B公差为1,S88a118a128,S44a16.S84S4,8a1284(4a16),解得a1,a10a19d9.故选B.2(20xx全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1a3a53,则S5()A5B7 C.9D11A法一:a1a52a3,a1a3a53a33,a31,S55a35,故选A.法二:a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3,a12d1,S55a1d5(a12d)5,故选A.3(20xx全国卷)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.A由a2,a4,a8成等比数列,得aa2a8,即(a16)2(a12)(a114),a12,Sn2n22nn2nn(n1)回访2等比数列基本量的运算4(20xx全国卷)已知等比数列an满足a1,a3a54(a41),则a2()A2 B1C. D.C法一:a3a5a,a3a54(a41),a4(a41),a4a440,a42.又q38,q2,a2a1q2,故选C.法二:a3a54(a41),a1q2a1q44(a1q31),将a1代入上式并整理,得q616q3640,解得q2,a2a1q,故选C.5(20xx全国卷)在数列an中,a12,an12an,Sn为an的前n项和若Sn126,则n_.6a12,an12an,数列an是首项为2,公比为2的等比数列,又Sn126,126,n6.热点题型1等差、等比数列的基本运算题型分析:以等差(比)数列为载体,考查基本量的求解,体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点,题型以客观题为主,难度较小【例1】(1)已知等比数列an的前n项和为Sn,a1a330,S4120,设bn1log3an,那么数列bn的前15项和为() 【导学号:04024053】A152 B135C80 D16(2)设an是首项为a1,公差为1的等差数列,Sn为其前n项和若S1,S2,S4成等比数列,则a1()A2 B2C. D(1)B(2)D(1)设等比数列an的公比为q,由a1a330,a2a4S4(a1a3)90,所以公比q3,首项a13,所以an3n,bn1log33n1n,则数列bn是等差数列,前15项的和为135,故选B.(2)由题意知S1a1,S22a11,S44a16,因为S1,S2,S4成等比数列,所以SS1S4,即(2a11)2a1(4a16),解得a1,故选D.方法指津在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q),在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这两个量,那么其他问题也就会迎刃而解这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法,这其中蕴含着方程的思想提醒:应用等比数列前n项和公式时,务必注意公比q的取值范围变式训练1 (1)在数列an中,a11,an1an3,Sn为an的前n项和,若Sn51,则n_.(2)(20xx东北三省四市联考)等比数列an中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S38a13a2,a416,则S4_.(1)6(2)30(1)由a11,an1an3,得an1an3,所以数列an是首项为1,公差为3的等差数列由Snn351,即(3n17)(n6)0,解得n6或n(舍)(2)设数列an的公比为q(q0),则解得所以S430.热点题型2等差、等比数列的基本性质题型分析:该热点常与数列中基本量的运算综合考查,熟知等差(比)数列的基本性质,可以大大提高解题效率【例2】(1)(20xx南昌一模)若等比数列的各项均为正数,前4项的和为9,积为,则前4项倒数的和为()【导学号:04024054】A. B.C1 D2(2)(20xx中原名校联考)若数列an满足d(nN*,d为常数),则称数列an为调和数列已知数列为调和数列,且x1x2x20200,则x5x16()A10 B20C30 D40(1)D(2)B(1)由题意得S49,所以.由a1a1qa1q2a1q3(aq3)2得aq3.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为2,故选D.(2)数列为调和数列,xn1xnd,xn是等差数列,x1x2x20200,x1x2020,又x1x20x5x16,x5x1620.方法指津1若an,bn均是等差数列,Sn是an的前n项和,则mankbn,仍为等差数列,其中m,k为常数2若an,bn均是等比数列,则can(c0),|an|,anbn,manbn(m为常数,m0),a,仍为等比数列3公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a2a1,a3a2,a4a3,成等比数列,且公比为q.4(1)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比数列,其公比为qk.(2)等差数列中连续k项的和成等差数列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等差数列,公差为k2d.5若A2n1,B2n1分别为等差数列an,bn的前2n1项的和,则.变式训练2(1)已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2a120,数列bn是等比数列,且b7a7,则b3b11等于()A16 B8 C.4 D2(2)(20xx武汉二模)等比数列an的各项均为正数,且a5a6a4a718,则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35(1)A(2)B(1)an是等差数列,a2a122a7,2a2a2a124a7a0.又a70,a74.又bn是等比数列,b3b11ba16.(2)由等比数列的性质知a5a6a4a79,所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a5a6)5log39510,故选B.热点题型3等差、等比数列的证明题型分析:该热点在考查数列的通项公式,前n项和公式的同时,考查学生的推理论证能力【例3】(20xx全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22,S36.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn1,Sn,Sn2是否成等差数列解 (1)设an的公比为q.由题设可得2分解得q2,a124分故an的通项公式为an(2)n6分(2)由(1)可得Sn(1)n8分由于Sn2Sn1(1)n22Sn,10分故Sn1,Sn,Sn2成等差数列12分方法指津 判断或证明数列是否为等差或等比数列,一般是依据等差数列、等比数列的定义,或利用等差中项、等比中项进行判断提醒:利用aan1an1(n2)来证明数列an为等比数列时,要注意数列中的各项均不为0.变式训练3(20xx全国卷)已知数列an的前n项和为Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中为常数(1)证明:an2an;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由解 (1)证明:由题设知anan1Sn1,an1an2Sn11,两式相减得an1(an2an)an1,2分由于an10,所以an2an4分(2)由题设知a11,a1a2S11,可得a21.5分由(1)知,a316分令2a2a1a3,解得4.7分故an2an4,由此可得a2n1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n14n3.9分a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n4n1.11分所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得数列an为等差数列12分
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