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精品资料章末分层突破自我校对(x0)f(x0)导数的运算法则导数的应用函数的最值 利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义,可以求过曲线上任一点的切线的斜率,从而进一步求出过此点的切线方程.还可以结合几何的有关知识,求解某些点的坐标、三角形面积等.导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一,常结合导数的运算进行考查,常以选择题、填空题的形式出现.对于较为复杂的此类问题,一般要利用kf(x0)(x0,f(x0)为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解.求过曲线yx32x上的点(1,1)的切线方程. 【精彩点拨】切线过曲线上一点(1,1),并不代表(1,1)就是切点,故需先设出切点,再求解. 【规范解答】设切点为P(x0,y0),则y0x2x0.y3x22,则切线的斜率kf(x0)3x2,切线方程为y(x2x0)(3x2)(xx0).又切线过点(1,1),1(x2x0)(3x2)(1x0),整理,得(x01)2(2x01)0,解得x01或x0.切点为(1,1)或,相应的切线斜率为k1或k.故所求切线方程为y(1)x1或y,即xy20或5x4y10.再练一题1.(2016淮安高二检测)已知函数f(x)x3ax2bxc在x2处取得极值,并且它的图象与直线y3x3在点(1,0)处相切,则函数f(x)的表达式为_.【解析】f(x)3x22axb.f(x)与直线y3x3在点(1,0)处相切,即 f(x)在x2处取得极值,f(2)124ab0. 由解得f(x)x33x22.【答案】f(x)x33x22利用导数研究函数的单调性1.求函数的单调区间应先确定函数的定义域,利用f (x)0,f (x)0的解集确定单调区间,这是函数中常见问题,是考查的重点.2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面:(1)f(x)0有无根,(2)f(x)0根的大小,(3)f(x)0的根是否在定义域内.另外当f(x)0的最高次项系数含有字母时,则要讨论系数是否为0.3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路:转化为不等式在某区间上恒成立问题,即f(x)0(或0)恒成立,用分离参数求最值或函数的性质求解,注意验证使f(x)0的参数是否符合题意,构造关于参数的不等式求解,即令f(x)0(或0)求得用参数表示的单调区间,结合所给区间,利用区间端点列不等式求参数的范围.已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.【精彩点拨】(1)求出f(x),讨论f(x)0的根是否存在,求函数的单调区间;(2)根据题意有f(x)0在(,)上恒成立,分离参数后可求实数a的取值范围.【规范解答】 (1)f(x)3x2a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(,)上为增函数.当a0时,令3x2a0得x;当x或x时,f(x)0;当x时,f(x)0.因此f(x)在,上为增函数,在上为减函数.综上可知,当a0时,f(x)在R上为增函数;当a0时,f(x)在,上为增函数,在上为减函数.(2)因为f(x)在(,)上是增函数,所以f(x)3x2a0在(,)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.因为3x20,所以只需a0.又因为a0时,f(x)3x20,f(x)x31在R上是增函数,所以a0,即a的取值范围为(,0.再练一题2.(2016湘潭高二检测)设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x2,2时,不等式f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(,),f(x)xex(exxex)x(1ex).若x0,则1ex0,所以f(x)0;若x0,则1ex0,所以f(x)0;若x0,则f(x)0.f(x)在(,)上为减函数,即f(x)的单调减区间为(,).(2)由(1)知f(x)在2,2上单调递减,f(x)minf(2)2e2.当m2e2时,不等式f(x)m恒成立.即实数m的取值范围是(,2e2).利用导数研究函数的极值和最值1.利用导数研究函数极值的一般流程2.求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.3.注意事项:(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.(2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好f(x)0时的情况;区分极值点和导数为0的点.已知函数f(x)x3ax2bxc,曲线yf(x)在点x1处的切线为l:3xy10,若x时,yf(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值.【精彩点拨】(1)利用f(1)3、f0、f(1)4构建方程组求解;(2)令f(x)0列表求极值和区间端点的函数值比较大小得最大值和最小值【规范解答】 (1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb.当x1时,切线l的斜率为3,可得2ab0,当x时,yf(x)有极值,则f0,可得4a3b40,由,解得a2,b4.由于切点的横坐标为1,所以f(1)4.所以1abc4,得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5,f(x)3x24x4.令f(x)0,解得x12,x2.当x变化时,f(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示:x3(3,2)21f(x)00f(x)8134由表可知,函数yf(x)在3,1上的最大值为13,最小值为.再练一题3.已知函数f(x)x3x2cxd有极值.(1)求c的取值范围;(2)若f(x)在x2处取得极值,且当x0时,f(x)d22d恒成立,求d的取值范围.【解】(1)f(x)x3x2cxd,f(x)x2xc,要使f(x)有极值,则方程f(x)x2xc0有两个实数解,从而14c0,c.(2)f(x)在x2处取得极值,f(2)42c0,c2. f(x)x3x22xd.f(x)x2x2(x2)(x1),当x(,1)时,f(x)0,函数单调递增,当x(1,2时,f(x)0,函数单调递减.x0时,f(x)在x1处取得最大值d,x0时,f(x)d22d恒成立, dd22d,即(d7)(d1)0,d7或d1,即d的取值范围是(,7)(1,).分类讨论思想利用分类讨论思想解答问题已成为高考中的热点问题,尤其是函数、导数中的解答题,在含参数的问题中,无论是研究单调性,还是极值、最值,一般都需要分类讨论.已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0,其中a0. (1)求a的值; (2)若对任意的x0,),有f(x)kx2成立,求实数k的最小值. 【精彩点拨】(1)求出函数f(x)的最小值用a表示解方程可得a的值;(2)构造函数g(x)f(x)kx2,分类讨论求其在0,)的最大值,使其最大值0可得k的取值范围,即得其最小值.【规范解答】(1)f(x)的定义域为(a,).f (x)1.由f (x)0,得x1aa.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x(a,1a)1a(1a,)f (x)0f(x)极小值因此,f(x)在x1a处取得最小值,故由题意f(1a)1a0,所以a1.(2)当k0时,取x1,有f(1)1ln 20,故k0不合题意.当k0时,令g(x)f(x)kx2,即g(x)xln(x1)kx2.g (x)2kx.令g(x)0,得x10,x21.当k时,0,g(x)0在(0,)上恒成立,因此g(x)在0,)上单调递减.从而对于任意的x0,),总有g(x)g(0)0,即f(x)kx2在0,)上恒成立.故k符合题意.当0k时,0,对于x,g(x)0,故g(x)在内单调递增,因此当取x0时,g(x0)g(0)0,即f(x0)kx不成立.故0k不合题意. 综上,k的最小值为. 再练一题4.(2016南京高二检测)设函数f(x)aexb(a0).(1)求f(x)在0,)内的最小值; (2)设曲线y f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为yx,求a,b的值. 【解】(1)f(x)aex,当f (x)0,即xln a时,f(x)在(ln a,)上单调递增; 当f (x)0,即xln a时,f(x)在(,ln a)上单调递减.当0a1时,ln a 0,f(x)在(0,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,从而f(x)在0,)上的最小值为f(ln a)2b; 当a1时,ln a0,f(x)在0,)上单调递增,从而f(x)在0,)上的最小值为f(0)ab. (2)依题意f (2)ae2,解得ae22或ae2(舍去),所以a,代入原函数可得2b3,即b,故a,b.1.(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a_.【解析】先用“导数法”求出切线方程,然后代入点(2,7)求出a的值.f(x)3ax21,f(1)3a1.又f(1)a2,切线方程为y(a2)(3a1)(x1).切线过点(2,7),7(a2)3a1,解得a1.【答案】12.(2016天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为_. 【导学号:24830093】【解析】因为f(x)(2x1)ex,所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex,所以f(0)3e03.【答案】33.(2016北京高考)函数f(x)(x2)的最大值为_. 【导学号:24830094】【解析】f(x),当x2时,f(x)0,所以f(x)在2,)上是减函数,故f(x)maxf(2)2.【答案】24.(2014辽宁高考改编)当x2,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是_.【解析】当x0时,ax3x24x30变为30恒成立,即aR.当x(0,1时,ax3x24x3,a,amax.设(x),(x)0,(x)在(0,1上递增,(x)max(1)6.a6.当x2,0)时,a,amin.仍设(x),(x).当x2,1)时,(x)0.当x(1,0)时,(x)0.当x1时,(x)有极小值,即为最小值.而(x)min(1)2,a2.综上可知6a2.【答案】6,25.(2015重庆高考)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)f(x)ex,讨论g(x)的单调性.【解】(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x,因为f(x)在x处取得极值,所以f0,即3a20,解得a.(2)由(1)得g(x)ex,故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0,解得x0或x1或x4.当x4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当4x0,故g(x)为增函数;当1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上可知,g(x)在(,4)和(1,0)内为减函数,在(4,1)和(0,)内为增函数.章末综合测评(三)导数及其应用(时间120分钟,满分160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上.)1.质点运动规律st23,则在时间(3,3t)中,质点的平均速度等于_.【解析】平均速度为6t.【答案】6t2.若f(x0)3,则当h0时,趋于常数_.【解析】4.f(x0)3,当h0时,趋于3,故当h0时,趋于12.【答案】123.(2015天津高考)已知函数f(x)axln x,x(0,),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数.若f(1)3,则a的值为_.【解析】f(x)aa(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)a,又f(1)3,所以a3.【答案】34.已知曲线f(x)x22x2在点M处的切线与x轴平行,则点M的坐标是_.【解析】f(x)2x2,由f(x)0得x1,又f(1)1223,点M的坐标为(1,3).【答案】(1,3)5.函数yxex在其极值点处的切线方程为_.【解析】由题知yexxex,令y0,解得x1,代入函数解析式可得极值点的坐标为,又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y.【答案】y6.下列结论(sin x)cos x;(log3x);(x2);,其中正确的有_(填序号).【解析】由于(sin x)cos x,故错误;由于,故错误;由于(log3x),故错误;由于x22x,故错误;由于,所以正确.【答案】7.函数yxsin xcos x在(,3)内的单调增区间是_.【解析】yxsin xcos x,yxcos x,令yxcos x0,且x(,3),cos x0,且x(,3),x,函数yxsin xcos x在(,3)内的单调增区间是.【答案】8.(2016徐州高二检测)函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_.【解析】f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x,当0x时,f(x)0,f(x)故上单调递增.f(x)的最大值在x处取得,fe,f(x)的最小值在x0处取得,f(0).函数值域为.【答案】9.若f(x)x2bln(x2)在(1,)上是减函数,则b的取值范围是_.【解析】由题意可知f(x)x0,在x(1,)上恒成立,即bx(x2)在x(1,)上恒成立,由于yx(x2)在(1,)上是增函数且y(1)1,所以b1.【答案】(,110.如图1,是yf(x)的导函数的图象,现有四种说法:f(x)在(2,1)上是增函数;x1是f(x)的极小值点;f(x)在(1,2)上是增函数;x2是f(x)的极小值点.以上说法正确的序号是_(填序号).图1 【解析】由函数的图象可知:f(2)0,f(1)0,f(x)在(2,1)上是减函数,不正确;x1时f(1)0,函数在(3,1)递减,在(1,2)单调递增,所以x1是f(x)的极小值点,所以正确;f(x)在(1,2)上f(x)0,所以函数在(1,2)上是增函数,所以正确;函数在(1,2)单调递增,在(2,4)单调递减,所以x2是f(x)的极大值点,所以不正确.【答案】,11.已知f(x)x33x22xa,若f(x)在R上的极值点分别为m,n,则mn的值为_.【解析】f(x)x33x22xa,f(x)3x26x2,f(x)在R上的极值点分别为m,n,则m,n为f(x)0的两个根,根据韦达定理可得,mn2,mn的值为2.【答案】212.若a2,则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有_个零点.【解析】f(x)x22axx(x2a),由f(x)0,得x0或x2a,又a2,2a4.当x(0,2)时,f(x)0,此时f(x)单调递减,又f(0)1,f(2)4a14a,由a2知f(2)0,函数f(x)在(0,2)上只有1个零点.【答案】113.(2016郴州高二检测)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则f(0)f(2)与2f(1)的大小关系为_. 【解析】依题意,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(1,)上是增函数;当x1时,f(x)0,f(x)在(,1)上是减函数,故当x1时,f(x)取得极小值也为最小值,即有f(0)f(1),f(2)f(1),f(0)f(2)2f(1).【答案】f(0)f(2)2f(1)14.已知函数f(x)x3x22xm的图象不经过第四象限,则实数m的取值范围是_.【解析】f(x)x2x2.令f(x)0,解得x2或1,则f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,)上单调递增,x1是极小值点.f(x)的图象不经过第四象限,即当x0时,f(x)0.f(1)2m0,m.【答案】m二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)已知函数yax3bx2,当x1时,有极大值3.(1)求a,b的值;(2)求函数y的极小值.【解】(1)y3ax22bx,当x1时,y|x13a2b0,y|x1ab3,即,解得:a6,b9. (2)由(1)得y6x39x2,y18x218x,令y0,得x0,或x1当x1或x0时,y0,函数在(,0),(1,)内单调递减;当0x1时,y0,函数在(0,1)单调递增.y极小值y|x00.16.(本小题满分14分)已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间1,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【解】(1)f(x)3x26x9.令f(x)0,解得x1或x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(,1),(3,).(2)f(2)81218a22a.因为f(x)在区间1,2上f(x)0,所以f(x)在区间1,2上单调递增,因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间1,2上的最大值和最小值,于是有22a20,解得a2.故f(x)x33x29x2,因此f(1)13927,即函数f(x)在区间1,2上的最小值为7.17.(本小题满分14分)设函数f(x)ln xln(2x)ax(a0). (1)当a1时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(0,1上的最大值为,求a的值.【解】函数f(x)的定义域为(0,2),f(x)a.(1)当a1时,f(x),令f(x)0,得x或x(舍去)所以f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2).(2)当x(0,1时,f(x)a0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a,因此a.18.(本小题满分16分)(2016南京高二检测)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需400元,火车的最高速度为100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?【解】设火车的速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km.由题意,令40k203,k,则总费用f(x)(kx3400)aa(0x100).由f(x)0,得x20.当0x20时,f(x)0,f(x)单调递减;当20x100时,f(x)0,f(x)单调递增.当x20时,f(x)取极小值也是最小值,即速度为20 km/h时,总费用最少.19.(本小题满分16分)已知a为实数,函数f(x)(xa).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(a)为f(x)在区间0,2上的最小值,试写出g(a)的表达式. 【解】(1)由题意知函数的定义域为0,),f(x)(x0)若a0,则f (x)0,故f(x)有单调递增区间0,);若a0,令f (x)0,得x.当0x时,f (x)0,当x时,f (x)0.故f(x)有单调递减区间,单调递增区间. 由于函数在某一点处没有增减性, 故函数的单调区间的情况为: 若a0,f(x)有单调递增区间0,);若a0,f(x)有单调递减区间,单调递增区间. (2)若a0,f(x)在0,2上单调递增,所以g(a) f(0)0. 若0a6,f(x)在0, 上单调递减,在上单调递增,所以g(a)f.若a6,f(x)在0,2上单调递减,所以g(a)f(2)(2a). 综上所述,g(a)20.(本小题满分16分)(2016洛阳高二检测)设函数f(x)a(x1)2ln(x1)bx(x1),曲线yf(x)过点(e1,e2e1),且在点(0,0)处的切线方程为y0.(1)求a,b的值;(2)证明:当x0时,f(x)x2;(3)若当x0时,f(x)mx2恒成立,求实数m的取值范围.【解】(1)f(x)2a(x1)ln(x1)a(x1)b,f(0)ab0,f(e1)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1,a1,b1.(2)f(x)(x1)2ln(x1)x,设g(x)(x1)2ln(x1)xx2,(x0),g(x)2(x1)ln(x1)x,(g(x)2ln(x1)10,g(x)在0,)上单调递增,g(x)g(0)0,g(x)在0,)上单调递增,g(x)g(0)0.f(x)x2.(3)设h(x)(x1)2ln(x1)xmx2,h(x)2(x1)ln(x1)x2mx,由(2)中知(x1)2ln(x1)x2xx(x1),(x1)ln(x1)x,h(x)3x2mx,当32m0即m时,h(x)0,h(x)在0,)单调递增,h(x)h(0)0,成立.当32m0即m时,h(x)2(x1)ln(x1)(12m)x,h(x)2ln(x1)32m,令h(x)0,得x0e10,当x0,x0)时,h(x)h(0)0,h(x)在0,x0)上单调递减,h(x)h(0)0,不成立.综上,m.
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