数学人教A版必修4 第二章　平面向量 单元测试2 含解析

（人教版）精品数学教学资料(时间：100 分钟，满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.ABACBCBA化简后等于()A3ABB.ABC.BAD.CA解析：选 B.原式(ABBA)(ACBC)(ABAB)(ACCB)0ABAB，故选B.2已知 i(1，0)，j(0，1)，则与 2i3j 垂直的向量是()A3i2jB2i3jC3i2jD2i3j解析：选 C.2i3j(2，3)，C 中3i2j(3，2)因为 2(3)320，所以 2i3j 与3i2j 垂直3下列说法正确的是()A两个单位向量的数量积为 1B若 abac，且 a0，则 bcC.ABOAOBD若 bc，则(ac)bab解析：选 D.A 中，两向量的夹角不确定，故 A 错；B 中，若 ab，ac，b 与 c 反方向，则不成立，故 B 错；C 中，应为ABOBOA，故 C 错；D 中，因为 bc，所以 bc0，所以(ac)babcbab，故 D 正确4已知向量 a(1，1)，b(2，x)，若 ab 与 4b2a 平行，则实数 x 的值是()A2B0C1D2解析：选 D.因为 a(1，1)，b(2，x)，所以 ab(3，x1)，4b2a(6，4x2)，由于 ab 与 4b2a 平行，得 6(x1)3(4x2)0，解得 x2.5已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|a|b|Dabab解析：选 B.因为|ab|ab|(ab)2(ab)2ab0，所以 ab，选 B.6已知向量 a(3，4)，b(3，1)，a 与 b 的夹角为，则 tan 等于()A.13B13C3D3解析：选 D.由题意，得 ab3(3)415，|a|5，|b| 10，则 cos ab|a|b|55 10110.0，sin 1cos2310，tan sin cos 3.7已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC2AD，则顶点 D 的坐标为()A(2，72)B(2，12)C(3，2)D(1，3)解析：选 A.设 D(x，y)，则BC(4，3)，AD(x，y2)又BC2AD，故42x，32（y2） ，解得x2，y72.8两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们的夹角为 90时，合力的大小为 20 N，则当它们的夹角为 120时，合力的大小为()A40 NB10 2 NC20 2 ND. 10 N解析：选 B.对于两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们的夹角为 90，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是 10 2 N；当它们的夹角为 120时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为 10 2 N.9A，B，C，D 为平面上四个互异点，且满足(DBDC2DA)(ABAC)0，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形解析：选 B.(DBDC2DA)(ABAC)(DBDADCDA)(ABAC)(ABAC)(ABAC)AB2AC20，|AB|AC|，ABC 为等腰三角形10在平面直角坐标系中，若 O 为坐标原点，则 A，B，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数， 使得OCOA(1)OB成立， 此时称实数为“向量OC关于OA和OB的终点共线分解系数”若已知 P1(3，1)，P2(1，3)，且向量OP3与向量 a(1，1)垂直，则“向量OP3关于OP1和OP2的终点共线分解系数”为()A3B3C1D1解析：选 D.设OP3(x，y)，则由OP3a 知 xy0，于是OP3(x，x)，设OP3OP1(1)OP2，(x，x)(3，1)(1)(1，3)，1.二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在题中横线上)11已知点 A(1，5)，a(2，3)，若AB3a，则点 B 的坐标为_解析：设 B(x，y)，(x1，y5)3(2，3)，x16，y59，解得x5，y4.答案：(5，4)12设 e1，e2是两个不共线的向量，a3e14e2，be12e2.若以 a，b 为基底表示向量 e12e2，即 e12e2ab，则_解析：由 a3e14e2，be12e2，得 e115a25b，e2110a310b，e12e225a15b，即251515.答案：1513向量 a(1，2)，b(1，m)，向量 a，b 在直线 yx1 上的投影相等，则向量 b_解析：直线 yx1 的方向向量为 c(1，1)，则可知ac|c|bc|c|，则 acbc，所以 121m，解得 m4，所以 b(1，4)答案：(1，4)14. 如图所示，在正方形 ABCD 中，已知|AB|2，若 N 为正方形内(含边界)任意一点，则ABAN的最大值是_解析： ABAN|AB|AN|cosBAN， |AN|cosBAN 表示AN在AB方向上的投影 又|AB|2，ABAN的最大值是 4.答案：415设向量 a，b 满足：|a|3，|b|4，ab0，以 a，b，ab 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为_解析：由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为 1，它与半径为 1 的圆最多有 4 个交点答案：4三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|；(2)求向量 a 在向量 ab 方向上的投影解：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.|a|4，|b|3，ab6.|ab| |a|2|b|22ab 42322（6） 13.(2)a(ab)|a|2ab42610.向量 a 在向量 ab 方向上的投影为a（ab）|ab|101310 1313.17已知向量 a 与 b 的夹角为，|a|2，|b| 3.(1)当 ab 时，求(ab)(a2b)的值；(2)当56时，求|2ab|(ab)(ab)的值；(3)定义 ab|a|2 3ab，若 ab7，求的取值范围解：(1)ab，cos 1.(ab)(a2b)|a|2ab2|b|222 3cos 22 3.(2)|2ab|24|a|24ab|b|21642 3cos56331，|2ab| 31，又(ab)(ab)|a|2|b|21，|2ab|(ab)(ab) 311.(3)ab|a|2 3ab4 32 3cos 7，cos 12，又0，23，18在OAB 的边 OA，OB 上分别有一点 P，Q，已知 OPPA12，OQQB32，连接 AQ，BP，设它们交于点 R，若OAa，OBb.(1)用 a 与 b 表示OR；(2)若|a|1，|b|2，a 与 b 夹角为 60，过 R 作 RHAB 交 AB 于点 H，用 a，b 表示OH.解：(1)OP13OA13a，OQ35b，由 A，R，Q 三点共线，可设ARmAQ.故OROAARamAQam(OQOA)am(35ba)(1m)a35mb.同理，由 B，R，P 三点共线，可设BRnBP.故OROBBRbn(OPOB)n3a(1n)b.由于 a 与 b 不共线，则有1mn3，35m1n，解得m56，n12.OR16a12b.(2)由 A，H，B 三点共线，可设BHBA，则OHa(1)b，RHOHOR(16)a(12)b.又RHAB，RHAB0.(16)a(12)b(ba)0.又ab|a|b|cos 601，12，OH12a12b.19已知 a(2sin x，1)，b(2，2)，c(sin x3，1)，d(1，k)(xR，kR)(1)若 x2，2，且 a(bc)，求 x 的值；(2)若函数 f(x)ab，求 f(x)的最小值；(3)是否存在实数 k 和 x，使得(ad)(bc)？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)bc(sin x1，1)，又 a(bc)，(2sin x)sin x1，即 sin x12.又 x2，2，x6.(2)a(2sin x，1)，b(2，2)，f(x)ab2(2sin x)22sin x2.又 xR，当 sin x1 时，f(x)有最小值，且最小值为 0.(3)ad(3sin x，1k)，bc(sin x1，1)，若(ad)(bc)，则(ad)(bc)0，即(3sin x)(sin x1)(1k)0，ksin2x2sin x4(sin x1)25.由 sin x1，1，得 sin x10，2，(sin x1)20，4，故 k5，1存在 k5，1，使得(ad)(bc)20在平面直角坐标系中，A(1，1)、B(2，3)、C(s，t)、P(x，y)，ABC 是等腰直角三角形，B 为直角顶点(1)求点 C(s，t)；(2)设点 C(s，t)是第一象限的点，若APABmAC，mR，则 m 为何值时，点 P 在第二象限？解：(1)由已知得ABBC，ABBC0.AB(2，3)(1，1)(1，2)，BC(s，t)(2，3)(s2，t3)，(1，2)(s2，t3)0，即 s2t80.又|AB|BC|，即 5 （s2）2（t3）2，即 s2t24s6t80.将代入消去 s，得 t26t80.解得 t2 或 4，相应的 s4 或 0，所以点 C 为(0，4)或(4，2)(2)由题意取 C(4，2)，AP(x1，y1)，ABmAC(1，2)m(3，1)(13m，2m)APABmAC，x113m，y12m，x23m，y3m.若点 P 在第二象限，则23m0.解得23m3.当23m3 时，点 P 在第二象限