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第二节第二节参数方程参数方程考纲传真(教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程(对应学生用书第 201 页)基础知识填充1曲线的参数方程(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数xf(t)，yg(t)，并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数相对于参数方程，我们直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0 叫作曲线的普通方程(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan(xx0)xx0tcos，yy0tsin(t为参数)圆x2y2r2xrcos，yrsin(为参数)椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos，ybsin(为参数)知识拓展在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为 1 时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程xf(t)，yg(t)中的x，y都是参数t的函数()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量()(3)方程x2cos，y12sin表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程x2cost，y4sint(t为参数)， 点M在椭圆上， 对应参数t3，点O为原点，则直线OM的斜率为 3.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)曲线x1cos，y2sin(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1 上D在直线yx1 上B B由x1cos，y2sin，得cosx1，siny2，所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1 为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上3(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：x222t，y122t(t为参数)的普通方程为_xy10由x222t，且y122t，消去t，得xy1，即xy10.4椭圆C的参数方程为x5cos，y3sin(为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min_.185由x5cos，y3sin(为参数)，消去参数得x225y291，当ABx轴时，|AB|有最小值所以|AB|min295185.5 (20 xx 江 苏 高 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 直 线l的 参 数 方 程 为x8t，yt2(t为参数)， 曲线C的参数方程为x2s2，y2 2s(s为参数) 设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2 2s)，从而点P到直线l的距离d|2s24 2s8|12(2)22(s 2)245.当s 2时，dmin4 55.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值4 55.(对应学生用书第 202 页)参数方程与普通方程的互化(1)求直线x2t，y1t(t为参数)与曲线x3cos，y3sin(为参数)的交点个数(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：xt，yta(t为参数)过椭圆C：x3cos，y2sin(为参数)的右顶点，求常数a的值.【导学号：79140389】解(1)将x2t，y1t消去参数t得直线xy10；将x3cos，y3sin消去参数得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10 的距离d220，为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程cos3 32.(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；(2)A，B为曲线C上的两点，且AOB3，求OAB的面积最大值解(1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，直线l的直角坐标方程为x 3y30.由直线l与圆C只有一个公共点，则可得|a3|2a，解得a3(舍)，a1.所以a1.(2)法一：曲线C的极坐标方程为2acos(a0)，设A的极角为，B的极角为3，则SOAB12|OA|OB|sin334|2acos|2acos3| 3a2|coscos3|，coscos3 12cos232sincos12cos 21234sin 21212cos 232sin 21412cos23 14，所以当6时，12cos23 14取得最大值34.OAB的面积最大值为3 3a24.法二：因为曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，且AOB3，由正弦定理得|AB|sin32a，所以|AB| 3a.由余弦定理得|AB|23a2|OA|2|OB|2|OA|OB|OA|OB|，所以SOAB12|OA|OB|sin3123a2323 3a24，所以OAB的面积最大值为3 3a24.规律方法处理极坐标、参数方程综合问题的方法1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.跟踪训练(20 xx太原模拟(二)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x2cos，ysin(其中为参数) 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是(tancossin)1(是常数， 0， 且2)，点A，B(A在x轴的下方)是曲线C1与C2的两个不同交点(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.【导学号：79140390】解(1)x2cos，ysin，x24y21，由xcos，ysin得曲线C2的直角坐标方程为ytanx1.(2)由(1)得曲线C2的参数方程为xtcos，y1tsin(t是参数)，设A(t1cos，1t1sin)，B(t2cos，1t2sin)，将C2：xtcos，y1tsin，代入x24y21，整理得t2(13sin2)8tsin0，t10，t28sin13sin2，|AB|t1t2|8|sin|13sin283|sin|1|sin|82 34 33(当且仅当 sin33取等号)，当 sin33时，0，且2，cos63，B4 23，13 ，|AB|的最大值为4 33，此时点B的坐标为4 23，13 .
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