高考数学文大一轮复习检测：第七章 立体几何 课时作业43 Word版含答案

课时作业43空间几何体的表面积与体积一、选择题1如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A4 B8C16 D20解析：由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V6248.故选B.答案：B2(2017黄冈中学月考)某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为()A48 B56C64 D72解析：该组合体由两个棱柱组成，上面的棱柱体积为24540，下面的棱柱体积为46124，故组合体的体积为64.故选C.答案：C3以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 BC2 D1解析：以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1，母线长为1.故侧面积为2rl2112.答案：A4如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A. B.C. D.解析：在ABC中，BC边上的高为，即棱锥ABB1C1的高为，又SBB1C1，所以VB1ABC1VABB1C1.答案：A5(2017江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为()A642 B84C66 D624解析：直观图是四棱锥PABCD，如图所示，SPABSPADSPDC222，SPBC22sin602，S四边形ABCD224，因此所求棱锥的表面积为642.故选A.答案：A6(2017河南洛阳测试)已知点A，B，C，D均在球O上，ABBC，AC3，若三棱锥DABC体积的最大值为，则球O的表面积为()A36 B16C12 D.解析：由题意可得，ABC，ABC的外接圆半径r，当三棱锥的体积取最大值时，VDABCSABCh(h为点D到底面ABC的距离)hh3，设R为球O的半径，则(3R)2R2r2R2.故球O的表面积为42216.答案：B二、填空题7(2016北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_解析：通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S，通过侧(左)视图可知四棱柱的高h1，所以该四棱柱的体积VSh.答案：8(2016浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.解析：将三视图还原成直观图如图所示，它由2个长方体组合而成，其体积V222432 cm3，表面积为62462272 cm2.答案：32729一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为_解析：设等边三角形的边长为2a，则V圆锥a2aa3；又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球3a3，则其体积比为.答案：三、解答题10一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积解：解：(1)直观图如图所示(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，则四边形AA1EB是正方形，AA1BE1，在RtBEB1中，BE1，EB11，所以BB1.所以几何体的表面积SS正方形ABCDS矩形A1B1C1D12S梯形AA1B1BS矩形BB1C1CS正方形AA1D1D1212(12)111(7)(m2)所以几何体的体积V121(m3)所以该几何体的表面积为(7)m2，体积为m3.11(2016新课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点()证明MN平面PAB；()求四面体NBCM的体积解：()由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.()因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE，由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.1(2016新课标全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R，该球的体积最大，VmaxR3.答案：B2(2017云南师范大学附属中学高三适应性考试)已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥OABC的体积为()A. B.C. D.解析：设球O的半径为R，因为SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值，此时OAOC.OBOC，OBOAO，所以OC平面AOB，所以VOABCVCOABOCOAOBsinAOBR3sinAOB，故选B.答案：B3(2016浙江卷)如图，在ABC中，ABBC2，ABC120，若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_解析：由ABBC2，ABC120，可得AC2，要求四面体PBCD的体积，关键是寻找底面三角形BCD的面积SBCD和点P到平面BCD的距离h.易知h2.设ADx，则DPx，DC2x，SDBC(2x)2sin30，其中x(0,2)，且hx，所以VPBCDSBCDhhx()2，当且仅当2xx，即x时取等号故四面体PBCD的体积的最大值是.答案：4(2016江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解：(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h，如图，连接O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以(a)2h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)当0h0，V是单调递增函数；当2h6时，V0，V是单调递减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大