【加练半小时】高考数学江苏专用理科专题复习：专题专题3 导数及其应用 第24练 Word版含解析

训练目标(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.1(2016常州一模)已知函数f(x)lnxx，aR.(1)当a0时，求函数f(x)的极大值；(2)求函数f(x)的单调区间2(2015课标全国)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围3(2015课标全国)已知函数f(x)x3ax，g(x)lnx.(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数4(2016山东)已知f(x)a(xlnx)，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时，证明f(x)f(x)对于任意的x1,2成立5已知函数f(x)xlnx和g(x)m(x21)(mR)(1)m1时，求方程f(x)g(x)的实根；(2)若对任意的x(1，)，函数yg(x)的图象总在函数yf(x)图象的上方，求m的取值范围；(3)求证：ln(2n1)(nN*)答案精析1解函数f(x)的定义域为(0，)(1)当a0时，f(x)lnxx，f(x)1.令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)的极大值为f(1)1.(2)f(x)1.令f(x)0，得x2xa0，则14a.当a时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)的单调减区间为(0，)；当a时，由f(x)0，得x1，x2.(i)若a0，则x1x20，由f(x)0，得0xx2，xx1；由f(x)0，得x2xx1.所以f(x)的单调减区间为(0，)，(，)，单调增区间为(，)(ii)若a0，由(1)知f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，)(iii)若a0，则x10x2，由f(x)0，得xx1；由f(x)0，得0xx1.所以f(x)的单调减区间为(，)，单调增区间为(0，)综上所述，当a时，f(x)的单调减区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调减区间为(0，)，(，)，单调增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调减区间为(，)，单调增区间为(0，)2(1)证明f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.所以函数f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)解由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0.故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又g(1)0，g(1)e12e0，故当t1,1时，g(t)0.当m1,1时，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m1时，g(m)0，即emme1；当m1时，g(m)0，即emme1.综上，m的取值范围是1,13解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)0，即解得x0，a.因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1，)时，g(x)lnx0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)上无零点当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故1是h(x)的一个零点；若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0，故1不是h(x)的零点当x(0,1)时，g(x)lnx0.所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数()若a3或a0，则f(x)3x2a在(0,1)上无零点，故f(x)在(0,1)上单调而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当a0时，f(x)在(0,1)上没有零点()若3a0，则f(x)在(0, )上单调递减，在( ，1)上单调递增，故在(0,1)中，当x时，f(x)取得最小值，最小值为f( ).若f( )0，即a0，f(x)在(0,1)上无零点；若f( )0，即a，则f(x)在(0,1)上有唯一零点；若f( )0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0,1)上有两个零点；当3a时，f(x)在(0,1)上有一个零点综上，当a或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a时，h(x)有三个零点4(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减当a0时，f(x).当0a2时，1，当x(0,1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减当a2时，1，在x(0，)内，f(x)0，f(x)单调递增当a2时，01，当x或x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当a2时，f(x)在(0，)内单调递增；当a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增(2)证明由(1)知，a1时，f(x)f(x)xlnxxlnx1，x1,2设g(x)xlnx，h(x)1，x1,2，则f(x)f(x)g(x)h(x)由g(x)0，可得g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号又h(x)，设(x)3x22x6，则(x)在x1,2上单调递减因为(1)1，(2)10，所以x0(1,2)，使得x(1，x0)时，(x)0，x(x0,2)时，(x)0.所以h(x)在(1，x0)内单调递增，在(x0,2)内单调递减由h(1)1，h(2)，可得h(x)h(2)，当且仅当x2时取得等号所以f(x)f(x)g(1)h(2)，即f(x)f(x)对于任意的x1,2成立5(1)解m1时，f(x)g(x)，即xlnxx21，而x0，所以方程即为lnxx0.令h(x)lnxx，则h(x)10，而h(1)0，故方程f(x)g(x)有唯一的实根x1.(2)解对于任意的x(1，)，函数yg(x)的图象总在函数yf(x)图象的上方，即x(1，)，f(x)g(x)，即lnxm(x)，设F(x)lnxm(x)，即x(1，)，F(x)0，F(x)m(1).若m0，则F(x)0，F(x)F(1)0，这与题设F(x)0矛盾若m0，方程mx2xm0的判别式14m2，当0，即m时，F(x)0，F(x)在(1，)上单调递减，F(x)F(1)0，即不等式成立当0，即0m时，方程mx2xm0有两个实根，设两根为x1，x2且x1x2，则方程有两个正实根且0x11x2.当x(1，x2)时，F(x)0，F(x)单调递增，F(x)F(1)0与题设矛盾综上所述，实数m的取值范围是.(3)证明由(2)知，当x1时，m时，lnx(x)成立不妨令x1(kN*)，ln，ln(2k1)ln(2k1)(kN*)，累加可得ln(2n1)(nN*)