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一、题之源：课本基础知识1.一般地,设函数的定义域为:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数.如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性2.如果函数f(x)在某个区间上是增函数,在该区间上随自变量x的增大,y也越来越大,函数图象在该区间上的部分自左到右呈上升趋势；如果函数f(x)在某个区间上是减函数,则在该区间上随自变量x的增大,y越来越小,函数图象在该区间上的部分自左到右呈下降趋势并不是每个函数都有单调性,如函数 就不具有单调性.3.对于函数和,如果在区间上是具有单调性,当时,且在区间上区间也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性：若在上单调递增,在上单调递增,则复合函数在区间上单调递增；若在上单调递增,在上单调递减,则复合函数在区间上单调递减；若在上单调递减,在上单调递增,则复合函数在区间上单调递减；若在上单调递减,在上单调递减,则复合函数在区间上单调递增；4.一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：对于任意的xI,都有f(x)M；存在x0I,使得f(x0)M.那么,称M是函数yf(x)的最大值.f(x)M反映了函数yf(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.5.一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：对于任意的xI,都有f(x)M；存在x0I,使得f(x0)M.那么,称M是函数yf(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标6.函数最值的重要结论(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)m在D上恒成立的充要条件是f(x)minm；(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)m在D上恒成立的充要条件是f(x)maxm.7.函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足， 奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满足， 偶函数的图象关于y轴对称； 注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; 若奇函数在原点有定义,则根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。8.判断函数奇偶性的步骤求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；验证f(x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(x)0或±1(f(x)0)是否成立对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f(x)±f(x)0”来判断二、题之本：思想方法技巧1.复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内函数与外函数单调性相同时,复合函数为增函数,内函数与外函数单调性相异时,复合函数为减函数.2.根据定义证明函数的单调性时，要注意格式的规范.3.研究函数的单调性切记定义域优先.注意单调区间必须用区间表示，不可用集合的其它表示形式，并注意区间端点值的取舍，如端点值在定义域内，闭开均可，如端点值不在定义域内，必须为开；如增（减）区间不只一个，区间之间应该用“和”或“，”，不可用“”.4.若f(x)是增(减)函数，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行5.已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换如：若x0，则x0；若1x2，则3x24等如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上6解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上7.下面几类函数都是奇函数:y=(ab0);y=(a>0且a1);y=(a>0且a1);y=(a>0且a1).8. 若f(x)满足对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),则f(x)是奇函数;若f(x)满足对任意实数a,b都有f(a+b)+m=f(a)+f(b),则f(x)-m是奇函数.9.抽象函数的奇偶性与单调性的判定，常在依托定义的基础上，用赋值法.例：已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0x2x1<1x2x1,0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(1，1)上为减函数.10.函数的几个重要性质：如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称Û是偶函数；若都有，那么函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称11.抽象函数的周期性是高考考查的热点，故这里给出周期函数的定义及常用结论：(1)已知函数的定义域为，若存在非零常数，对任意都有，则成为周期函数，T为的一个周期。(2)对函数满足对定义域内任一实数（其中为非零常数）,，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数，则是以为周期的周期函数.函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；三、题之变：课本典例改编1.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）改编 设函数D(x)=，则下列结论错误的是（ ）AD(x)的值域为0,1 B D(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数【答案】C.2.原题（必修1第三十六页练习第题（）判断下列函数的奇偶性：改编 关于函数，有下列命题：其图象关于轴对称；当时，是增函数；当时，是减函数；的最小值是；在区间上是增函数；无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是 【答案】【解析】 为偶函数，故正确；令，则当时，在上递减，在上递增，错误；正确；错误故答案：3.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第1题）已知函数，(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值改编1 已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，解得，故选D改编2 已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是_【答案】【解析】函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，即改编3 已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围【答案】或4.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.改编1 已知定义在上的偶函数f(x)在区间上是减函数, 若f(1-m)f(m), 则实数m的取值范围是 .【答案】【解析】由偶函数的定义, , 又由f(x)在区间上是减函数, 所以.故答案：.改编2 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.改编3 函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.或【答案】D.5.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第五题）证明：（1）若，则；（2）若则.改编1 函数在上有定义，若对任意，有则称 在上具有性质.设在上具有性质，求证：对任意，有.【解析】证明： 改编2 如图所示，是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对0，1中任意的和，任意恒成立”的只有（ ） A和 BC和D【答案】A.【解析】当时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有和，故选择A.改编3 设函数=的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是 （ ）A.abcB.acbC.bacD.cab【答案】B.改编4 如图所示，单位圆中弧AB的长为表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数的图象是 （ ） 【答案】D.【解析】据题意选D.
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