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一、题之源：课本基础知识一、题之源：课本基础知识 1导数的概念 (1)函数yf(x)在xx0处的导数 称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率limx0 f（x0 x）f（x0）xlimx0 yx为函数yf(x)在x x0处 的 导 数 ， 记 作f(x0)或y|x x0， 即f(x0) limx0 yxlimx0 f（x0 x）f（x0）x. (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0) (3)函数f(x)的导函数 称函数f(x)limx0f（xx）f（x）x为f(x)的导函数 2基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)c(c为常数) f(x)0 f(x)xn(nQ Q*) f(x)nxn1(nQ Q*) f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ax f(x)axln a f(x)ex f(x)ex f(x)logax f(x)1xln a f(x)ln x f(x)1x 3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0) 4复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 5.函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0. f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数 f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数 6函数的极值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值 7函数的最值 (1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 二、题之本：思想方法技巧二、题之本：思想方法技巧 1弄清“函数在一点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在一点x0处的导数f(x0)是一个常数，不是变量； (2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f(x)； (3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值 2求函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)通常有以下两种方法 (1)利用导数的定义：即求 0limx f（x0 x）f（x0）x的值； (2)利用导函数的函数值：先求函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数f(x)，再将x0(x0(a，b)代入导函数f(x)，得f(x0) 3正确区分“曲线在某点处的切线”与“过某点的曲线的切线”的含义，前者的“某点”即切点，后者的“某点”是否为切点则须检验 4求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程如果切点未知，要先求出切点坐标 5.注意曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 6导数运算的技巧 (1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数； (2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导 7用导数判断单调性 用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0 的点外，还要注意定义区间内的间断点 8理清导数与函数单调性的关系 (1)f(x)0(或0(或f(b)的形式 (2)对形如f(x)g(x)的不等式，构造函数F(x)f(x)g(x) (3)对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x) 16.利用导数研究方程根的方法 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现 三、题之变：课本典例改编三、题之变：课本典例改编 1.原题（选修原题（选修 1 1- -1 1 第第 8080 页习题页习题 1.1B1.1B 组第一题组第一题）改编改编 在高台跳水中，t s 时运动员相对水面的高度(单位：m）是105 . 69 . 4)(2ttth则 t=2 s 时的速度是_. 【答案】13.1(/ )m s. 2 2. .原题（选修原题（选修 1 1- -1 1 第第 9696 页练习第页练习第 2 2 题题）改编改编 如图是导函数/( )yfx的图象，那么函数( )yf x在下 面哪个区间是减函数（ ） A. 13( ,)x x B. 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x 【答案】B. 【解析】函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选 B. 3 3. . 原 题 （ 选 修原 题 （ 选 修 1 1- -1 1 第第 9999 页 习 题页 习 题 1.3B1.3B 组 第组 第 1 1 题 改 编题 改 编 1 1 设02x， 记s i nl n s i n,s i n,xax bx ce 试比较 a,b,c 的大小关系为（ ） A abc B bac C cba D bca 【答案】A. 【解析】1.先证明不等式lnxxxe (x0);设( )ln,0f xxx x, 因为1( )1,fxx所以，当01x时，1( )10,fxx ( )f x单调递增，( )ln(1)10f xxxf ；当1x 时1( )10,fxx ( )f x单调递减，( )ln(1)10f xxxf ；当 x=1 时，显然ln1 1，因此ln xx; 2.设( ),0 xg xxex,( )1xg xe 当0( )0 xg x时 ( )(0,+g x在）单调递减 ( )(0)0g xg,即xxe; 综上：有lnxxxe，x0 成立; 02x ,0sin1x , sinlnsinsinxxxe ,故选 A. 改编改编 2 2 证明：xxx1ln111，1x 【解析】 （1）构造函数xxxf1ln)(， 1111)(xxxxf) 1(x，当, 0 x 00 f，得下表 01x 0 0 x xf + 0 xf 单调递增 极大值0)0(f 单调递减 , 1x总有, 0)0()( fxf, 01lnxx.1lnxx 另解1111)(xxxxf) 1(x，当, 0 x 00 f， 当01x， )(, 0 xfxf单调递增，, 0)0()(, 01fxfx 当0 x， )(, 0 xfxf单调递减，, 0)0()(, 0fxfx 当, 0 x 00 f 综合得：当1x时，, 0)(xf, 01lnxx.1lnxx 5.5.原题（选修原题（选修 1 1- -1 1 第第 104104 页习题页习题 1.4A1.4A 组第组第 1 1 题题）改编改编 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_. 答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3.
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