专题六 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

专题升级训练 椭圆、双曲线、抛物线(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.(2013·辽宁师大附中模拟,6)若抛物线y2=ax的焦点与双曲线=1的右焦点重合,则a的值为()A.4B.8C.16D.82.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=13.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2.若=0,则=()A.1B.2C.3D.44.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点有()A.至少1个B.2个C.1个D.0个5.已知点A,B是双曲线x2-=1上的两点,O为坐标原点,且满足=0,则点O到直线AB的距离等于()A.B.C.2D.26.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于()A.B.2C.D.4二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m),到其焦点的距离为5,双曲线x2-=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直,则实数a=. 8.在ABC中,AB=BC,cos B=-,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=. 9.连接抛物线x2=4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A,设点O为坐标原点,则OAM的面积为. 三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为-1.(1)求椭圆C的方程;(2)过点E(2,0)且斜率为k(k>0)的直线l与C交于M,N两点,P是点M关于x轴的对称点,证明:N,F,P三点共线.11.(本小题满分15分)(2013·山东东营模拟,22)已知圆的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为A1,A2,直线A1A2恰好经过椭圆=1(a>b>0)的右顶点和上顶点.(1)求椭圆的方程;(2)设AB是椭圆=1(a>b>0)垂直于x轴的一条弦,AB所在直线的方程为x=m(|m|<a且m0),P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交定直线l:x=于Q,R两点,求证:>4.12.(本小题满分16分) (2013·重庆九校联考,20)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0),经过点(1,e),其中e为椭圆的离心率,且椭圆C与直线y=x+有且只有一个交点. (1)求椭圆C的方程;(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,第一象限内的点P(1,m)(m>0)在椭圆上,直线OP平分线段AB,求:当PAB的面积取得最大值时直线l的方程.#一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.C2.D解析:由题意知a2=4b2,故椭圆C的方程为=1.(*)又双曲线的一条渐近线方程为y=x,假设它与椭圆的一个交点坐标为(m,m),由对称性及题意知8×m2=16,得m2=4,(2,2)在椭圆上,代入(*)式得b2=5,从而a2=20,故选D.3.B解析:设椭圆方程为=1(a>b>0),双曲线方程为=1(m>0,n>0),其中两焦点距离为2c.不妨令P在第一象限,由题意知|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,又·=0,PF1PF2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,2(a2+m2)=4c2,=2,故选B.来源:4.B解析:直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,圆心到直线的距离d=>2,解得m2+n2<4,即点P(m,n)在以原点为圆心,半径为2的圆的内部,而此圆在椭圆=1的内部,故点P在椭圆内部,经过此点的任意直线与椭圆有两个交点.故选B.5.A解析:由·=0OAOB,由于双曲线为中心对称图形,因此可考查特殊情况,令点A为直线y=x与双曲线在第一象限的交点,因此点B为直线y=-x与双曲线在第四象限的一个交点,因此直线AB与x轴垂直,点O到直线AB的距离就为点A或点B的横坐标的值.由x=.故选A.6.C解析:据抛物线定义知,|AB|=x1+x2+=4,x1+x2=.故弦AB的中点到x=-的距离为.二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.解析:根据抛物线的性质得1+=5,p=8.不妨取M(1,4),则AM的斜率为2,由已知得-×2=-1.故a=.来源:8.解析:如图所示,设AB=BC=x,由cos B=-及余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=x2+x2+2x2×,AC2=x2,AC=x.椭圆以A,B为焦点,焦距为2c=AB=x.又椭圆经过点C,AC+BC=x+x=2a,来源:2a=x,e=.9.解析:线段FM所在直线方程x+y=1与抛物线交于A(x0,y0),则y0=3-2或y0=3+2(舍去).来源:SOAM=×1×(3-2)=.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10. 解: (1)由题可知解得a=,c=1,b=1.椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线l为y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x1,-y1),F(1,0),由得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0.x1+x2=,x1x2=.而=(x2-1,y2)=(x2-1,kx2-2k),=(x1-1,-y1)=(x1-1,-kx1+2k).(x1-1)(kx2-2k)-(x2-1)(-kx1+2k)=k2x1x2-3(x1+x2)+4=k=0,.N,F,P三点共线.11. 解: (1)观察知,x=2是圆的一条切线,切点为(2,0).设O为圆心,根据圆的切线性质,MOA1A2,所以=-=-,所以直线A1A2的方程为y=-(x-2).直线A1A2与y轴相交于点(0,1),依题意可知a=2,b=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:椭圆方程为+y2=1,设P(x0,y0),A(m,n),B(m,-n),则有+4-4=0,m2+4n2-4=0.在直线AP的方程y-n=(x-m)中,令x=,整理,得yQ=.同理,yR=.×,并将=1-,n2=1-m2代入得来源:yQ·yR=.故··+yQ·yR=1+.因为|m|<2且m0,所以0<m2<4,>3,所以·>4.12.解:(1)椭圆经过点(1,e),=1.又e=,=1,b2=1,椭圆C的方程为+y2=1.又椭圆C与直线y=x+有且只有一个交点,方程+(x+)2=1,即(1+a2)x2+2a2x+2a2=0有两个相等的实根,=(2a2)2-4(1+a2)·2a2=0,a2=2,椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆的方程为+y2=1,故P.设不经过原点的直线l的方程为y=kx+t(t0),A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.又y1+y2=k(x1+x2)+2t=,直线OP方程为y=x且OP平分线段AB,在直线OP上,解得k=-,|AB|=·.又点P到直线l的距离d=h,SPAB=|AB|h=.设f(t)=(-t)2(4-2t2)=-2t4+4t3-8t+8.由直线l与椭圆C相交于A,B两点可得-<t<,求导可得当t=-时,f(t)在(-)上有最大值,此时SPAB取得最大值.此时直线l的方程为y=-x-.