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第六十七课时 正态分布课前预习案考纲要求1.了解正态分布与正态曲线的概念，掌握正态分布的对称性；2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率基础知识梳理1 正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)e，xR(其中，为参数，且0，)2 正态曲线的性质(1)曲线在x轴的 ，并且关于直线 对称(2)曲线在 时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状(3)曲线的形状由参数确定，越 ，曲线越“矮胖”；越 ，曲线越“高瘦”3 正态变量在三个特定区间内取值的概率值(1)P(X)68.3%；(2)P(2X2)95.4%；(3)P(3X2)_.2 若XN(0,1)，且P(X1.54)0.938 2，则P(|X|c1)P(Xc1)，则c等于 ()A1 B2 C3 D45 (2011年高考湖北卷)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(00)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12B12C12，12，12考点2服从正态分布的概率计算【典例2】某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示(1)求总体随机变量的期望和方差；(2)求成绩X位于区间(52,68)的概率【变式2】(1)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2) (0)若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(2，)上取值的概率为_(2)若XN，则X落在(，11，)内的概率为_考点3正态分布的应用【典例3】已知电灯泡的使用寿命XN(1 500,1002)(单位：h)(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1 400小时的概率；(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.15%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N(100,100)，已知满分为150分(1)试求考试成绩位于区间(80,120)内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数当堂检测1 已知三个正态分布密度函数fi(x) (xR，i1,2,3) 的图象如图所示，则()A13B123，123C123，123D123，124)等于()A0.158 8 B0.158 5 C0.158 6 D0.158 74 已知随机变量N(3,22)，若23，则D()等于()A0 B1 C2 D4课后拓展案 A组全员必做题1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其概率密度函数为f(x)e (xR)，则下列命题不正确的是()A该市这次考试的数学平均成绩为80分B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D该市这次考试的数学成绩标准差为102 设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是，则等于()A1 B2 C4 D不能确定3 随机变量服从正态分布N(1，2)，已知P(0)0.3，则P(2)(120.4)0.1.20.876 4 解析由正态曲线的对称性知P(X1.54)P(X1.54)又P(X1.54)1P(X1.54)10.938 20.061 8P(X1.54)0.061 8，P(|X|1.54)P(1.54X1.54)P(X1.54)P(X1.54)0.938 20.061 80.876 4.3 B由ee，可知2，10.4B2，由正态分布的定义知其函数图象关于x2对称，于是2，c2.5CP(4)0.2，由题意知图象的对称轴为直线x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6. P(02)P(04)0.3.典型例题【典例1】解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.由，得4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是f(x)，xR.(2)P(4X4)P(04X04)P(X)0.6826.【变式1】A根据正态分布N(，2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.【典例2】解(1)从给出的密度曲线图可知，该正态曲线关于x60对称，最大值为，60，解得4.f(x)，x0,100，总体随机变量的期望是60，方差是216.(2)成绩X位于区间(52,68)的概率为P(2X2)12P(01)(10.8)0.1.（2）【答案】0.0026 【解析】0，P(X1或x1)1P(1X1)1P(3X3)10.9974=0.0026【典例3】(1)P(X1 400)1P(X1 500，则P(Xx0)0.15%.P(X1 500x01 500)0.15%，P(|X1 500|x01 500)10.3%0.997，所以x01 500300，x01 800(小时)【变式3】(1)由N(100,100)知100，10.P(80120)P(10021002)0.9544，即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.9544.(2)P(90110)P(10010110)(10.6826)0.158 7，P(90)0.68260.158 70.841 3.及格人数为2 0000.841 31 683(人)当堂检测1D解析正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故23，又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(x)的对称轴的横坐标值大，故有123.又越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数f1(x)和f2(x)的图象一样“瘦高”，3(x)明显“矮胖”，从而可知124)P(X4)0.158 7.4 B解析由23，得D()4D()，而D()24，D()1. A组全员必做题1.B解析由密度函数知，均值(期望)80，标准差10，又曲线关于直线x80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的2C解析根据题意，函数f(x)x24x没有零点时，1644，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)x24x没有零点的概率是时，4.3 0.7解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x1对称，所以P(2)P(0)P(01)P(12)，又P(01)P(12)0.2，所以P(2)0.7. 4.46解析因为标准差是10，故在区间(12020,12020)之外的概率是10.9544，数学成绩在140分以上的概率是0.0228，故数学成绩在140分以上的人数为2 0000.02284646.5.0.8解析服从正态分布N(1，2)，在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.在(0,2)内取值的概率为0.40.40.8.6.0.9544解析P(9.8X10.2)P(100.2X9)0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 2000.15180(辆)2解XN，4，.不属于区间(3,5)的概率为P(X3)P(X5)1P(3X5)1P(41X41)1P(3X3)10.99740.0026.1 0000.00263.(个).即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个3解设学生的得分情况为随机变量X，XN(60,100)则60，10.P(30X90)P(60310X60310)0.9974.P(X90)1P(30X90)0.001 3，学生总数为10 000(人)
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