第八章第5节 直线、平面垂直的判定与性质

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第八章 立体几何第五节 直线、平面垂直的判定与性质题型97 证明空间中直线、平面的垂直关系2013年1. (2013四川文19)如图,在三棱柱中,侧棱底面,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.(1)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;(2)设(1)中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式:,其中为底面面积,为高).2. (2013山东文19) 如图,四棱锥中,分别为的中点(1)求证:平面;(2)求证:平面平面3. (2013重庆文19)如图,四棱锥中,底面,.(1)求证:平面;(2)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.2014年1.(2014辽宁文4)已知,表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是( )A若则 B若,则C若,则 D若,则2.(2014浙江文6)设是两条不同的直线,是两个不同的平面( ). A若,则 B若,则 C若,则 D若,则 3.(2014广东文9)若空间中四条两两不同的直线,满足,则下列结论一定正确的是( ).A B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定4.(2014北京文17)(本小题满分14分)如图所示,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,分别为,的中点.(1)求证:平面平面;(2)求证:平面;(3)求三棱锥的体积.5.(2014新课标文19) 如图所示,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为,且平面. (1)求证:; (2)若,求三棱柱的高. 6.(2014辽宁文19)如图所示,和所在平面互相垂直,且,分别为,的中点. (1)求证:平面; (2)求三棱锥的体积.附:锥体的体积公式,其中为底面面积,为高.7. (2014广东文18)如图1所示,四边形为矩形,平面,作如图2所示的折叠:折痕.其中点分别在线段上,沿折叠后点在线段上的点记为,并且.(1) 求证:平面;(2) 求三棱锥的体积. 8.(2014江苏16)如图所示,在三棱锥中,分别为棱,的中点已知,求证:(1)直线平面;(2)平面平面9.(2014重庆文20)如图所示,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,底面,为上一点,且.(1)求证:平面;(2)若,求四棱锥的体积.10(2014湖北文20)如图所示,在正方体中, 分别是棱, ,的中点. 求证:(1)直线平面;(2)直线平面. 2015年1.(2015湖南文18)如图所示,直三棱柱的底面是边长为2的正三角形,分别是,的中点.(1)证明:平面平面;(2)若直线与平面所成的角为,求三棱锥的体积.1. 解析 (1)如图所示,因为三棱柱是直三棱柱,所以,又是正三角形的边的中点,所以,因此平面,又平面,所以平面平面.(2)设的中点为,联结.因为是正三角形,所以.又三棱柱是直三棱柱,所以,因此平面.所以为直线与平面所成的角.由题设,所以,在中,所以.故三棱锥的体积.2.(2015天津文17)如图所示,已知平面, , , 点,分别是,的中点.(1)求证: 平面 ;(2)求证:平面平面.(3)求直线与平面所成角的大小.2.分析 (1)要证明平面,只需证明且平面;(2)要证明平面平面,可证明,;(3)取 中点,联结 ,则就是直线 与平面所成角,中,由,得直线与平面所成角为.解析 (1)如图所示,联结,在中,因为和分别是,的中点,所以,又因为平面, 所以平面.(2)因为, 为中点,所以.因为平面,所以平面,从而.又 ,所以平面 .又因为平面,所以平面平面.(3)取中点和中点,联结,因为和分别为,中点,所以, ,故,所以.又因为平面,所以平面,从而就是直线与平面所成角.在中,可得,所以.因为,所以,又由,有,在中,可得, 在中,因此.所以直线与平面所成角为.3.(2015全国1文18)如图所示,四边形为菱形,G为与的交点,平面.(1)求证:平面平面;(2)若,三棱锥的体积为,求该三棱锥的侧面积.3. 解析 (1)因为平面,所以.又为菱形,所以.又因为,平面,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在菱形中,取,又,所以,.在中,所以,所以在中,所以,解得.在中,可得.所以.4(2015山东文18)如图所示,在三棱台中,分别为的中点.(1)求证:平面;(2)若,求证:平面平面.4. 解析 (1)证法一:联结.设,联结,如图所示.在三棱台中,为的中点,可得,所以四边形是平行四边形,则为的中点.又是的中点,所以.又平面,平面,所以平面.证法二:在三棱台中,由,为的中点,可得,所以为平行四边形,可得.在中,分别为,的中点,所以.又,所以平面平面,因为平面,所以平面.(2)证明:联结,如图所示.因为分别为的中点,所以.由,得.又为的中点,所以,因此四边形是平行四边形,所以.又,所以.又平面,所以平面.又平面,所以平面平面.5. (2015浙江文18) 如图所示,在三棱柱中, ,在底面的射影为的中点,为的中点.(1)证明:平面; (2)求直线和平面所成的角的正弦值.此题无答案26.(2015重庆文20) 如题(20)图,三棱锥中,平面平面,点,在线段上,且,点在线段上,且.(1)证明:平面.(2)若四棱锥的体积为7,求线段的长. 26. 解析 (1)由,知点为等腰中底边的中点,故又平面平面,平面平面,平面,所以平面,从而因为,故.从而与平面内两条相交直线,都垂直,所以平面(2)设,则在中,从而.由,知,得,故,即由,从而四边形的面积为 由(1)知,平面,所以为四棱锥的高在中,体积,故得,解得或由于,可得或,所以或2016年1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面,交于直线.若直线,满足,则( ).A. B. C. D. 1.C 解析 对于选项A,因为,所以.又因为,所以与平行或异面.故选项A不正确;对于选项B和D,因为,所以或.又因为,所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B和D不正确;对于选项C,因为所以因为所以,故选项C正确,故选C.2.(2016全国甲文19)如图所示,菱形的对角线与交于点,点,分别在,上, ,交于点.将沿折到的位置. (1)证明:;(2)若 ,求五棱锥的体积.2.解析 (1)因为四边形为菱形,所以,所以,所以,所以.又因为,所以,所以.所以.(2)由得,由得 所以 于是故由(1)知,又,所以平面,于是又由,所以平面.又由得,五边形的面积.3.(2016北京文18)如图所示,在四棱锥中,平面,.(1)求证:平面; (2)求证:平面平面;(3)设点为的中点,在棱上是否存在点,使得平面?说明理由.3.解析 (1)因为平面,所以.又因为,.所以平面.(2)由(1)知,平面,又,所以平面. 又平面,所以平面平面(3)棱上存在点,使得平面.证明如下.取中点,联结.又因为为的中点,所以.又因为平面,所以平面.4.(2016山东文18)在如图所示的几何体中,是的中点,.(1)已知,. 求证:;(2)已知分别是和的中点.求证:平面.4.解析 (1)证明:因为,所以与确定一个平面,连接,如图1所示. 因为为的中点,所以;同理可得. 又因为,所以平面,因为平面,所以.(2)设的中点为,连接,如图2所示. 在中,是的中点,所以.又,所以;在中,是的中点,所以.又,所以平面平面.因为平面,所以平面. 5(2016江苏16)如图所示,在直三棱柱中,分别为的中点,点在侧棱上,且,.求证:(1)直线平面;(2)平面平面.5.解析 (1)因为分别为的中点,所以为的中位线,所以.又因为三棱柱为直棱柱,故,所以.又因为平面,且,故平面.(2)三棱柱为直棱柱,所以平面.又平面,故.又,且,平面,所以平面.又因为平面,所以.又因为,且平面,所以平面.又因为平面,所以平面平面.6.(2016全国乙文18)如图所示,已知正三棱锥的侧面是直角三角形,顶点在平面内的正投影为点,在平面内的正投影为点.联结并延长交于点.(1)求证:是的中点;(2)在题图中作出点在平面内的正投影(说明作法及理由),并求四面体的体积.6.解析 (1)由题意可得为正三角形,故.因为在平面内的正投影为点,故平面.又平面,所以.因为在平面内的正投影为点,故平面.又平面,所以.因为,平面,所以平面.又平面,所以.因为,所以是的中点.(2)如图所示,过作交于,则即为所要寻找的正投影.理由如下,因为,故.同理,又,平面,所以平面,故即为点在平面内的正投影.所以.在中,故由等面积法知.由勾股定理知,由为等腰直角三角形知,故.7.(2016四川文17)如图所示,在四棱锥中,.(1)在平面内找一点,使得直线平面,并说明理由; (2)证明:平面平面 7.解析(1)取棱的中点平面,点即为所求的一个点.证明如下:因为,所以,且所以四边形是平行四边形,从而又平面,平面,所以平面 (说明:取棱的中点,则所找的点可以是直线上任意一点). (2)由已知,因为,所以直线与相交,所以平面从而因为,所以,且 所以四边形是平行四边形.所以,所以又,所以平面又平面,所以平面平面2017年1.(2017全国3文10)在正方体中,为棱的中点,则( ).A BC D解析 因为,且,所以平面,又因为平面.所以.故选C.评注 本题属于线面关系定理的实际应用问题,有一定难度,需要学生有较强的空间想象能力和公式定理的实际应用能力,问题的重点与难点在于找到与包含的平面垂直的直线!2.(2017全国1文18)如图所示,在四棱锥中,且.(1)证明:平面平面;(2)若,且四棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.解析 (1)因为,所以.因为,所以,因为,所以又,所以平面.因为平面,所以平面平面(2)由(1)知平面,因为平面,所以平面平面如图所示,取中点.因为,所以.又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面由,得四边形为平行四边形.又因为平面,得,即四边形是矩形.不妨设,则,所以,且因此四棱锥的体积为,解得所以3.(2017全国3文19)如图所示,四面体中,是正三角形,(1)证明:;(2)已知是直角三角形,若为棱上与不重合的点,且,求四面体与四面体的体积比解析 (1)设中点为,联结,. 由,得,由,得.又因为,所以平面.又因为平面,所以.(2)设,则.由,得,故.又因为,所以.所以,所以,可得. 即点为的中点,点到平面的距离是点到平面的距离的一半,所以,所以体积比为.评注 本题第一问考查线线垂直的证明,属于常规题型;第二问用相似或解三角形的方法求解直线长度,特别是用相似在高中阶段比较少见,但16年全国卷选择题的压轴题也有类似考法.这说明,虽然几何证明在高中阶段已经不再作为一个固定的选作题出现,但其主要知识点仍然可以作为考点,在高考中进行考查,笔者提醒各位老师在今后的教学中要特别注意到这一点.4.(2017北京文18)如图所示,在三棱锥中,为线段的中点,为线段上一点(1)求证:;(2)求证:平面平面;(3)当平面时,求三棱锥的体积解析 (1)因为, ,所以平面.又因为平面,所以.(2)因为,为线段的中点,所以在等腰中,.又由(1)可知,所以平面.由为线段上一点,则平面,所以又因为平面,所以平面平面.(3)当平面时,平面,且平面平面,可得.由是边的中点知,为边的中点.故而,因为平面,所以平面.由,为边中点知,又,有,即因此,.5.(2017山东文18)由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示,四边形为正方形,为与的交点,为的中点,平面.(1)证明:平面;(2)设是的中点,证明:平面平面.解析(1)如图所示,取中点,联结,由于为四棱柱,所以,因此四边形为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.(2)因为四边形是正方形,所以,分别为和的中点,所以.又 面,平面,所以.因为 ,所以.又平面,所以平面,又平面,所以平面平面.解析(1)如图所示,取中点,联结,由于为四棱柱,所以,因此四边形为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.(2)因为四边形是正方形,所以,分别为和的中点,所以.又 面,平面,所以.因为 ,所以.又平面,所以平面,又平面,所以平面平面.6.(2017浙江19)如图所示,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,为的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.解析 (1)如图所示,设DE的中点为,联结,.因为,分别为,的中点,所以,且.又因为,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,所以平面.(2)分别取,的中点为,.联结交于点,联结.因为,分别是,的中点,所以为的中点,在平行四边形中,.由为等腰直角三角形,得.由,是的中点,所以,且,所以四边形是平行四边形,所以,所以.又,所以平面,由,得平面,又平面,所以平面平面.过点作的垂线,垂足为,联结.是在平面上的射影,所以是直线与平面所成的角.设.在中,由,由余弦定理得,又平面,平面,所以.在中,由,,为的中点,得.在中,所以,所以直线与平面所成角的正弦值是.7.(2017江苏15)如图所示,在三棱锥中, 平面平面, 点(与不重合)分别在棱上,且求证:(1)平面; (2)解析 (1)在平面内,因为,且点与点不重合,所以.又因为平面,平面,所以平面.(2)因为平面平面,平面平面, 平面,所以平面.因为平面,所以.又,平面,平面,所以平面.又因为平面,所以.题型98 与垂直有关的开放性、探究性问题2015年1.(2015安徽文19) 如图所示,在三棱锥中,平面,.(1)求三棱锥的体积;(2)求证:在线段上存在点,使得,并求的值.1.分析 (1)在中,由三角形的面积公式,求出三角形面积.又因为面,所以是三棱锥的高,根据锥体的体积公式即可求出结果;(2)过点作于点,过作交于点,根据线面垂直的判定定理和性质定理,可知此点即为所求,根据相似三角形的性质即可求出结果.解析 (1)在中,所以.又因为面,所以是三棱锥的高,所以.(2)过点作交于点,过点作交于点,联结,如图所示.因为面,所以面.又面,得.又,所以面.又面,所以.此时点即为所找点,在中,由题意可得,所以.由,可得,所以,所以.2.(2015北京文18) 如图所示,在三棱锥中,平面平面,三角形为等边三角形,且,分别为,的中点.(1) 求证:平面.(2) 求证:平面平面 .(3) 求三棱锥的体积. 2.解析 (1)依题意,分别为,的中点,则是的中位线,所以,平面,平面,故平面.(2)因为在中,且为的中点,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,故平面平面.(3)由(2)知,平面,所以3(2015福建文20)如图所示,是圆的直径,点是圆上异于的点,垂直于圆所在的平面,且(1)若为线段的中点,求证:平面;(2)求三棱锥体积的最大值;(3)若,点在线段上,求的最小值3.分析 (1)要证明平面,只需证明垂直于面内的两条相交直线首先由垂直于圆所在的平面,可证明.又,为的中点,可证明,进而证明结论;(2)三棱锥中,高,要使得体积最大,则底面面积最大,又是定值,故当边上的高最大,此时高为半径,进而求三棱锥体积的最大值;(3)将侧面绕旋转至平面,使之与平面共面,此时线段的长度即为的最小值解析 (1)在中,因为,为的中点,所以又垂直于圆所在的平面,所以.因为,所以平面(2)因为点在圆上,所以当时,到的距离最大,且最大值为1又,所以面积的最大值为又因为三棱锥的高,故三棱锥体积的最大值为(3)解法一:在中,所以同理,所以在三棱锥中,将侧面绕旋转至平面,使之与平面共面,如图所示当共线时,取得最小值又因为,所以垂直平分,即为中点从而,即的最小值为解法二:由解法一可知, ,所以当为的中点时,与同时取得最小值.故.所以的最小值为.4.(2015湖北文20)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中,侧棱底面,且,点是的中点,连接、.(1)证明:平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)记阳马的体积为,四面体的体积为,求的值.4.解析 (1)因为底面,所以. 由底面为长方形,有,而,所以平面. 平面,所以. 又因为,点是的中点,所以. 而,所以平面.由平面,平面.可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别是(2)由已知,是阳马的高,所以.由(1)知,是鳖臑的高,所以.在中,因为,点是的中点,所以,于是 5.(2015江苏文22)如图所示,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,(1)求平面与平面所成二面角的余弦值;(2)点是线段上的动点,当直线与所成的角最小时,求线段的长5.解析 由平面,故,两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系,则,(1)易知平面,故平面的一个法向量为又,.设平面的一个法向量为,则,.所以,取,则,故,因此.易知平面与平面所成二面角为锐二面角,故其余弦值为(2)因,设,所以,因此,设,所以,令,则,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以当时,有最大值,即有最大值,此时直线与所成的角最小,故评注 也可以假设点的坐标解决在求解的最大值时,也可以处理成:,设,则,所以,所以当,取最小值, 此时取最大值,此时直线与所成的角最小,即,解得,故6.(2015四川文18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论;(3)求证:直线平面.6.解析 (1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面平面.证明如下:因为为正方体,所以,.又,所以,.所以为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.同理平面.又,所以平面平面.(3)联结,因为为正方体,所以平面.因为平面,所以.又,所以平面.又平面,所以.同理,.又,所以平面.题型99 空间角与空间距离2013年1(2013江西文19)如图,直四棱柱中, 为上一点,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离2. (2013天津文17) 如图, 三棱柱中, 侧棱底面,且各棱长均相等.分别为棱的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面;(3)求直线与平面所成角的正弦值. 3. (2013湖南文17) 如图2.在直棱柱中,是的中点,点在棱上运动.(1)证明:;(2)当异面直线, 所成的角为时,求三棱锥的体积.4.(2013浙江文20)如图,在在四棱锥中,面, ,为线段上的点.(1)证明:平面; (2)若是的中点,求与所成的角的正切值;(3)若满足 面,求的值.2014年1.(2014大纲文4)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ).A B C D2.(2014天津文17)如图所示,四棱锥的底面是平行四边形,,分别是棱的中点.(1) 求证:平面;(2) 若二面角为, 求证:平面平面; 求直线与平面所成角的正弦值.3.(2014浙江文20)如图所示,在四棱锥中,平面平面;,.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正切值. 4.(2014大纲文19)如图所示,三棱柱中,点在平面ABC内的射影D在AC上,.(1)求证:;(2)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.5. (2014新课标文18)如图所示,四棱锥中,底面为矩形,平面,为的中点.(1)求证:平面; (2)设,三棱锥的体积,求到平面的距离.5.(2014湖南文18)如图所示,已知二面角的大小为,菱形在面内,两点在棱上,是的中点,面,垂足为. (1)求证:平面; (2)求异面直线与所成角的余弦值. 2015年1.(2015江苏文22)如图所示,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,(1)求平面与平面所成二面角的余弦值;(2)点是线段上的动点,当直线与所成的角最小时,求线段的长1.解析 由平面,故,两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系,则,(1)易知平面,故平面的一个法向量为又,设平面的一个法向量为,则,所以,取,则,故,因此,易知平面与平面所成二面角为锐二面角,故其余弦值为(2)因,设,所以,因此,设,所以,令,则,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以当时,有最大值,即有最大值,此时直线与所成的角最小,故评注 也可以假设点的坐标解决在求解的最大值时,也可以处理成:,设,则,所以,所以当,取最小值, 此时取最大值,此时直线与所成的角最小,即,解得,故2016年1.(2016全国乙文11)平面过正方体的顶点,平面,平面,平面,则所成角的正弦值为( ).A. B. C. D.1.A 解析 解法一:将图形延伸出去,构造一个正方体,如图所示.通过寻找线线平行构造出平面,即平面,即研究与所成角的正弦值,易知,所以其正弦值为.故选A.解法二(原理同解法一):过平面外一点作平面,并使平面,不妨将点变换成,作使之满足同等条件,在这样的情况下容易得到,即为平面,如图所示,即研究与所成角的正弦值,易知,所以其正弦值为.故选A.2.(2016浙江文14)如图所示,已知平面四边形,.沿直线将翻折成,直线与所成角的余弦的最大值是_.2. 解析 设直线与所成角为.设是中点由已知得,如图所示,以为轴,为轴,过与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,有,.作于,翻折的过程中,始终与垂直,且的长度始终不变,则,因此可设,则,与平行的单位向量为.所以,所以时,取最大值.3.(2016上海文19)将边长为的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱,如图所示,长为,长为,其中与在平面的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积;(2)求异面直线与所成的角的大小.3.解析 (1)由题意可知,圆柱的母线长,底面半径.圆柱的体积,圆柱的侧面积.(2)设过点的母线与下底面交于点,则,所以或其补角为与所成的角.由长为,可知,由长为,可知,所以异面直线与所成的角的大小为.4.(2016浙江文18)如图所示,在三棱台中,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的余弦值.4.解析 (1)因为此几何体三棱台,延长可相交于一点,如图所示.因为平面,平面为,且,所以,因此.又因为,可以求得,所以为等边三角形,且为的中点,则.因为,所以平面.(2)因为平面,所以是直线与平面所成的角,因为点为的中点,所以.在中,得.所以直线与平面所成的角的余弦值为.5.(2016天津文17)如图所示,四边形是平行四边形,平面平面,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求直线与平面所成角的正弦值.5.解析 (1)如图所示,取的中点为,联结,.在中,因为是的中点,所以且.又因为,所以且,即四边形是平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面(2)证明:在中,.由余弦定理可得,进而可得,即.又因为平面平面,平面,平面平面,所以平面.又因为平面,所以平面平面.(3)因为,所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点,连接,如图所示.又因为平面平面,由(2)知平面,所以直线与平面所成角即为.在中,.由余弦定理可得,所以.因此.在中,所以直线与平面所成角的正弦值为.2017年1.(2017天津文17)如图所示,在四棱锥中,平面,.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求证:平面;(3)求直线与平面所成角的正弦值.解析 (1)如图所示,由已知,故或其补角即为异面直线与所成的角.因为平面,平面,所以.在中,由勾股定理,得,故.所以异面直线与所成角的余弦值为.(2)证明:因为平面,直线平面,所以.又因为,所以.又,且,所以平面.(3)如图所示,过点作的平行线交于点,联结,则与平面所成的角等于与平面所成的角.因为PD平面,平面,所以PD,所以为在平面上的射影,所以为直线和平面所成的角.因为,所以四边形是平行四边形,所以.由,得.因为平面,平面,所以,又因为,所以.在中,由勾股定理得,所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.2.(2017浙江19)如图所示,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,为的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.解析 (1)如图所示,设DE的中点为,联结,.因为,分别为,的中点,所以,且.又因为,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,所以平面.(2)分别取,的中点为,.联结交于点,联结.因为,分别是,的中点,所以为的中点,在平行四边形中,.由为等腰直角三角形,得.由,是的中点,所以,且,所以四边形是平行四边形,所以,所以.又,所以平面,由,得平面,又平面,所以平面平面.过点作的垂线,垂足为,联结.是在平面上的射影,所以是直线与平面所成的角.设.在中,由,由余弦定理得,又平面,平面,所以.在中,由,,为的中点,得.在中,所以,所以直线与平面所成角的正弦值是.欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
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