第八章第5节 直线、平面垂直的判定与性质

第八章 立体几何第五节 直线、平面垂直的判定与性质题型97 证明空间中直线、平面的垂直关系2013年1. （2013四川文19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点.（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积.（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）.2. （2013山东文19） 如图，四棱锥中，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面3. (2013重庆文19）如图，四棱锥中，底面，.（1）求证：平面；（2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积.2014年1.（2014辽宁文4）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则 B若，则C若，则 D若，则2.（2014浙江文6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面（ ）. A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 3.（2014广东文9）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是（ ）.A B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定4.（2014北京文17）（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.5.（2014新课标文19） 如图所示，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面. （1）求证：； （2）若，求三棱柱的高. 6.（2014辽宁文19）如图所示，和所在平面互相垂直，且，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积.附：锥体的体积公式，其中为底面面积，为高.7. （2014广东文18）如图1所示，四边形为矩形，平面，作如图2所示的折叠：折痕.其中点分别在线段上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且.（1） 求证：平面;（2） 求三棱锥的体积. 8.（2014江苏16）如图所示，在三棱锥中，分别为棱，的中点已知，求证：（1）直线平面；（2）平面平面9.（2014重庆文20）如图所示，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，为上一点，且.（1）求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.10（2014湖北文20）如图所示，在正方体中， 分别是棱， ，的中点. 求证：（1）直线平面；（2）直线平面. 2015年1.（2015湖南文18）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是，的中点.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积.1. 解析 （1）如图所示，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）设的中点为，联结.因为是正三角形，所以.又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面.所以为直线与平面所成的角.由题设，所以，在中，所以.故三棱锥的体积.2.（2015天津文17）如图所示，已知平面， ， ， 点，分别是，的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面平面.（3）求直线与平面所成角的大小.2.分析 （1）要证明平面，只需证明且平面；（2）要证明平面平面，可证明，；（3）取 中点，联结 ，则就是直线 与平面所成角，中，由，得直线与平面所成角为.解析 （1）如图所示，联结，在中，因为和分别是，的中点，所以，又因为平面， 所以平面.（2）因为， 为中点，所以.因为平面，所以平面，从而.又 ，所以平面 .又因为平面，所以平面平面.（3）取中点和中点，联结，因为和分别为，中点，所以， ，故，所以.又因为平面，所以平面，从而就是直线与平面所成角.在中，可得，所以.因为，所以，又由，有，在中，可得， 在中，因此.所以直线与平面所成角为.3.（2015全国1文18）如图所示，四边形为菱形，G为与的交点，平面.（1）求证：平面平面；（2）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.3. 解析 （1）因为平面，所以.又为菱形，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在菱形中，取，又，所以，.在中，所以，所以在中，所以，解得.在中，可得.所以.4（2015山东文18）如图所示，在三棱台中，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面平面.4. 解析 （1）证法一：联结.设，联结，如图所示.在三棱台中，为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点.又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.证法二：在三棱台中，由，为的中点，可得，所以为平行四边形，可得.在中，分别为，的中点，所以.又，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）证明：联结，如图所示.因为分别为的中点，所以.由，得.又为的中点，所以，因此四边形是平行四边形，所以.又，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.5. (2015浙江文18) 如图所示，在三棱柱中， ，在底面的射影为的中点，为的中点.（1）证明：平面； （2）求直线和平面所成的角的正弦值.此题无答案26.(2015重庆文20) 如题（20）图，三棱锥中，平面平面，点，在线段上，且，点在线段上，且.（1）证明：平面.（2）若四棱锥的体积为7，求线段的长. 26. 解析 （1）由，知点为等腰中底边的中点，故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而因为，故.从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面（2）设，则在中，从而.由，知，得，故，即由，从而四边形的面积为 由（1）知，平面，所以为四棱锥的高在中，体积，故得，解得或由于，可得或，所以或2016年1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直线.若直线，满足，则（ ）.A. B. C. D. 1.C 解析 对于选项A，因为，所以.又因为，所以与平行或异面.故选项A不正确；对于选项B和D，因为，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B和D不正确；对于选项C，因为所以因为所以，故选项C正确，故选C.2.（2016全国甲文19）如图所示，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上， ，交于点.将沿折到的位置. （1）证明：；（2）若 ，求五棱锥的体积.2.解析 （1）因为四边形为菱形，所以，所以，所以，所以.又因为，所以，所以.所以.（2）由得，由得 所以 于是故由（1）知，又，所以平面，于是又由，所以平面.又由得，五边形的面积.3.（2016北京文18）如图所示，在四棱锥中，平面，.（1）求证：平面； （2）求证：平面平面；（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由.3.解析 （1）因为平面，所以.又因为，.所以平面.（2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面（3）棱上存在点，使得平面.证明如下.取中点，联结.又因为为的中点，所以.又因为平面，所以平面.4.（2016山东文18）在如图所示的几何体中，是的中点，.（1）已知，. 求证：；（2）已知分别是和的中点.求证：平面.4.解析 （1）证明：因为，所以与确定一个平面，连接，如图1所示. 因为为的中点，所以；同理可得. 又因为，所以平面，因为平面，所以.（2）设的中点为，连接，如图2所示. 在中，是的中点，所以.又，所以；在中，是的中点，所以.又，所以平面平面.因为平面，所以平面. 5（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.5.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中位线，所以.又因为三棱柱为直棱柱，故，所以.又因为平面，且，故平面.（2）三棱柱为直棱柱，所以平面.又平面，故.又，且，平面，所以平面.又因为平面，所以.又因为，且平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.6.（2016全国乙文18）如图所示，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点.联结并延长交于点.（1）求证：是的中点；（2）在题图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积.6.解析 （1）由题意可得为正三角形，故.因为在平面内的正投影为点，故平面.又平面，所以.因为在平面内的正投影为点，故平面.又平面，所以.因为，平面，所以平面.又平面，所以.因为，所以是的中点.（2）如图所示，过作交于，则即为所要寻找的正投影.理由如下，因为，故.同理，又，平面，所以平面，故即为点在平面内的正投影.所以.在中，故由等面积法知.由勾股定理知，由为等腰直角三角形知，故.7.（2016四川文17）如图所示，在四棱锥中，.（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； （2）证明：平面平面 7.解析（1）取棱的中点平面，点即为所求的一个点.证明如下：因为，所以，且所以四边形是平行四边形，从而又平面，平面，所以平面 (说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点). （2）由已知，因为，所以直线与相交，所以平面从而因为，所以，且 所以四边形是平行四边形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面2017年1.（2017全国3文10）在正方体中，为棱的中点，则（ ）.A BC D解析 因为，且，所以平面，又因为平面.所以.故选C.评注 本题属于线面关系定理的实际应用问题，有一定难度，需要学生有较强的空间想象能力和公式定理的实际应用能力，问题的重点与难点在于找到与包含的平面垂直的直线！2.（2017全国1文18）如图所示，在四棱锥中，且.(1)证明：平面平面；(2)若，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.解析 （1）因为，所以.因为，所以，因为，所以又，所以平面.因为平面，所以平面平面（2）由（1）知平面，因为平面，所以平面平面如图所示，取中点.因为，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面由，得四边形为平行四边形.又因为平面，得，即四边形是矩形.不妨设，则，所以，且因此四棱锥的体积为，解得所以3.（2017全国3文19）如图所示，四面体中，是正三角形，（1）证明：；（2）已知是直角三角形，若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比解析 （1）设中点为，联结，. 由，得，由，得.又因为，所以平面.又因为平面，所以.(2)设，则.由，得，故.又因为，所以.所以，所以，可得. 即点为的中点，点到平面的距离是点到平面的距离的一半，所以，所以体积比为.评注 本题第一问考查线线垂直的证明，属于常规题型；第二问用相似或解三角形的方法求解直线长度，特别是用相似在高中阶段比较少见，但16年全国卷选择题的压轴题也有类似考法.这说明，虽然几何证明在高中阶段已经不再作为一个固定的选作题出现，但其主要知识点仍然可以作为考点，在高考中进行考查，笔者提醒各位老师在今后的教学中要特别注意到这一点.4.（2017北京文18）如图所示，在三棱锥中，为线段的中点，为线段上一点（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）当平面时，求三棱锥的体积解析 （1）因为， ，所以平面.又因为平面，所以.（2）因为，为线段的中点，所以在等腰中，.又由（1）可知，所以平面.由为线段上一点，则平面，所以又因为平面，所以平面平面.（3）当平面时，平面,且平面平面,可得.由是边的中点知，为边的中点.故而，因为平面，所以平面.由，为边中点知，又，有，即因此，.5.（2017山东文18）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面.（1）证明：平面；（2）设是的中点，证明：平面平面.解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，分别为和的中点，所以.又 面，平面，所以.因为 ，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，分别为和的中点，所以.又 面，平面，所以.因为 ，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.6.（2017浙江19）如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解析 （1）如图所示，设DE的中点为，联结，.因为，分别为，的中点，所以，且.又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面.（2）分别取，的中点为，.联结交于点，联结.因为，分别是，的中点，所以为的中点，在平行四边形中，.由为等腰直角三角形，得.由，是的中点，所以，且,所以四边形是平行四边形，所以，所以.又,所以平面，由，得平面，又平面，所以平面平面.过点作的垂线，垂足为，联结.是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角.设.在中，由，由余弦定理得，又平面，平面，所以.在中，由，,为的中点，得.在中，所以，所以直线与平面所成角的正弦值是.7.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥中， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且求证：（1）平面； （2）解析 （1）在平面内，因为，且点与点不重合，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面.因为平面，所以.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.题型98 与垂直有关的开放性、探究性问题2015年1.(2015安徽文19) 如图所示，在三棱锥中，平面，.（1）求三棱锥的体积；（2）求证：在线段上存在点，使得，并求的值.1.分析 （1）在中，由三角形的面积公式，求出三角形面积.又因为面，所以是三棱锥的高，根据锥体的体积公式即可求出结果；（2）过点作于点，过作交于点，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果.解析 （1）在中，所以.又因为面，所以是三棱锥的高，所以.（2）过点作交于点，过点作交于点，联结，如图所示.因为面，所以面.又面，得.又，所以面.又面，所以.此时点即为所找点，在中，由题意可得，所以.由，可得，所以，所以.2.（2015北京文18） 如图所示，在三棱锥中，平面平面，三角形为等边三角形，且，分别为，的中点.（1） 求证：平面.（2） 求证：平面平面 .（3） 求三棱锥的体积. 2.解析 （1）依题意，分别为，的中点，则是的中位线，所以，平面，平面，故平面.（2）因为在中，且为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面.（3）由（2）知，平面，所以3（2015福建文20）如图所示，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）求三棱锥体积的最大值；（3）若，点在线段上，求的最小值3.分析 （1）要证明平面，只需证明垂直于面内的两条相交直线首先由垂直于圆所在的平面，可证明.又，为的中点，可证明，进而证明结论；（2）三棱锥中，高，要使得体积最大，则底面面积最大，又是定值，故当边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥体积的最大值；（3）将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，此时线段的长度即为的最小值解析 （1）在中，因为，为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所以.因为，所以平面（2）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为1又，所以面积的最大值为又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为（3）解法一：在中，所以同理，所以在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当共线时，取得最小值又因为，所以垂直平分，即为中点从而，即的最小值为解法二：由解法一可知， ，所以当为的中点时，与同时取得最小值.故.所以的最小值为.4.（2015湖北文20）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接、.(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(2)记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值.4.解析 (1)因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.由平面，平面.可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是(2)由已知，是阳马的高，所以.由(1)知，是鳖臑的高，所以.在中，因为，点是的中点，所以，于是 5.（2015江苏文22）如图所示，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长5.解析 由平面，故，两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，（1）易知平面，故平面的一个法向量为又，.设平面的一个法向量为，则，.所以，取，则，故，因此.易知平面与平面所成二面角为锐二面角，故其余弦值为（2）因，设，所以，因此，设，所以，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，即有最大值，此时直线与所成的角最小，故评注 也可以假设点的坐标解决在求解的最大值时，也可以处理成：，设，则，所以，所以当，取最小值， 此时取最大值，此时直线与所成的角最小，即，解得，故6.（2015四川文18）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（1）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）；（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论；（3）求证：直线平面.6.解析 （1）点F，G，H的位置如图所示.（2）平面平面.证明如下：因为为正方体，所以，.又，所以，.所以为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.同理平面.又，所以平面平面.（3）联结，因为为正方体，所以平面.因为平面，所以.又，所以平面.又平面，所以.同理，.又，所以平面.题型99 空间角与空间距离2013年1（2013江西文19）如图，直四棱柱中， 为上一点，.（1）证明：平面;（2）求点到平面的距离2. (2013天津文17） 如图， 三棱柱中， 侧棱底面，且各棱长均相等.分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值. 3. (2013湖南文17） 如图2.在直棱柱中，是的中点，点在棱上运动.（1）证明：；（2）当异面直线， 所成的角为时，求三棱锥的体积.4.(2013浙江文20）如图，在在四棱锥中，面， ，为线段上的点.（1）证明：平面; （2）若是的中点，求与所成的角的正切值；（3）若满足 面，求的值.2014年1.（2014大纲文4）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）.A B C D2.（2014天津文17）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，,分别是棱的中点.（1） 求证：平面；（2） 若二面角为， 求证：平面平面； 求直线与平面所成角的正弦值.3.（2014浙江文20）如图所示，在四棱锥中，平面平面；，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值. 4.（2014大纲文19）如图所示，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，.（1）求证：；（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.5. （2014新课标文18）如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）求证：平面； （2）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.5.（2014湖南文18）如图所示，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，是的中点，面，垂足为. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 2015年1.（2015江苏文22）如图所示，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长1.解析 由平面，故，两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，（1）易知平面，故平面的一个法向量为又，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，故，因此，易知平面与平面所成二面角为锐二面角，故其余弦值为（2）因，设，所以，因此，设，所以，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，即有最大值，此时直线与所成的角最小，故评注 也可以假设点的坐标解决在求解的最大值时，也可以处理成：，设，则，所以，所以当，取最小值， 此时取最大值，此时直线与所成的角最小，即，解得，故2016年1.（2016全国乙文11）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）.A. B. C. D.1.A 解析 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面，即平面，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为.故选A.解法二（原理同解法一）：过平面外一点作平面，并使平面，不妨将点变换成，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面，如图所示，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为.故选A.2.（2016浙江文14）如图所示，已知平面四边形，.沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是_.2. 解析 设直线与所成角为.设是中点由已知得，如图所示，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，有，.作于，翻折的过程中，始终与垂直，且的长度始终不变，则，因此可设，则，与平行的单位向量为.所以，所以时，取最大值.3.（2016上海文19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为，长为，其中与在平面的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线与所成的角的大小.3.解析 （1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径.圆柱的体积，圆柱的侧面积.（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为与所成的角.由长为，可知，由长为，可知，所以异面直线与所成的角的大小为.4.（2016浙江文18）如图所示，在三棱台中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.4.解析 （1）因为此几何体三棱台，延长可相交于一点，如图所示.因为平面，平面为，且，所以，因此.又因为，可以求得，所以为等边三角形，且为的中点，则.因为，所以平面.（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，因为点为的中点，所以.在中，得.所以直线与平面所成的角的余弦值为.5.（2016天津文17）如图所示，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.5.解析 （1）如图所示，取的中点为，联结，.在中，因为是的中点，所以且.又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面（2）证明：在中，.由余弦定理可得，进而可得，即.又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（3）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，如图所示.又因为平面平面，由（2）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，.由余弦定理可得，所以.因此.在中，所以直线与平面所成角的正弦值为.2017年1.（2017天津文17）如图所示，在四棱锥中，平面，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.解析 （1）如图所示，由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角.因为平面，平面，所以.在中，由勾股定理，得，故.所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）证明：因为平面，直线平面，所以.又因为，所以.又，且，所以平面.（3）如图所示，过点作的平行线交于点，联结，则与平面所成的角等于与平面所成的角.因为PD平面，平面，所以PD，所以为在平面上的射影，所以为直线和平面所成的角.因为，所以四边形是平行四边形，所以.由，得.因为平面，平面，所以，又因为，所以.在中，由勾股定理得，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.2.（2017浙江19）如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解析 （1）如图所示，设DE的中点为，联结，.因为，分别为，的中点，所以，且.又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面.（2）分别取，的中点为，.联结交于点，联结.因为，分别是，的中点，所以为的中点，在平行四边形中，.由为等腰直角三角形，得.由，是的中点，所以，且,所以四边形是平行四边形，所以，所以.又,所以平面，由，得平面，又平面，所以平面平面.过点作的垂线，垂足为，联结.是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角.设.在中，由，由余弦定理得，又平面，平面，所以.在中，由，,为的中点，得.在中，所以，所以直线与平面所成角的正弦值是.欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org