资源描述
第四讲导数的综合应用 1利用导数求函数最值的几种情况(1)若连续函数f(x)在(a，b)内有唯一的极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在a，b上的最大值，f(a)，f(b)min是函数f(x)在a，b上的最小值；若函数f(x)在(a，b)内有唯一的极小值点x0，则f(x0)是函数f(x)在a，b上的最小值，f(a)，f(b)max是函数f(x)在a，b上的最大值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)是函数f(x)在a，b上的最小值，f(b)是函数f(x)在a，b上的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)是函数f(x)在a，b上的最大值，f(b)是函数f(x)在a，b上的最小值(3)若函数f(x)在a，b上有极值点x1，x2，xn(nN*，n2)，则将f(x1)，f(x2)，f(xn)与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是函数f(x)在a，b上的最大值，最小的一个是函数f(x)在a，b上的最小值2不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI)(2)f(x)g(x)对xI能成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI)(3)对x1，x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)对x1D1，x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min，f(x)定义域为D1，g(x)定义域为D2.3证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 考点利用导数研究函数的零点(或方程的根)典例示法题型1利用导数判断零点(或根)的个数问题典例120xx陕西高考设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围解(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0ma0，1恒成立，等价于f(b)b0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x2(x0)恒成立，m，m的取值范围是.题型2利用零点(或根)的存在情况求参数的取值范围典例2已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.x，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2，实数m的取值范围是.三步解决方程解(或曲线公共点)的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解考点利用导数证明不等式典例示法题型1利用导数证明不等式典例320xx贵阳监测已知a为实常数，函数f(x)ln x，g(x)ax1.(1)讨论函数h(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若函数f(x)与g(x)有两个不同的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1x2.求实数a的取值范围；求证：1y12.(注：e为自然对数的底数)解(1)h(x)ln xax1，定义域为(0，)，h(x)a.当a0时，h(x)0，函数h(x)在(0，)上是增函数；当a0时，在区间上，h(x)0；在区间上，h(x)0.h(x)在上是增函数，在上是减函数(2)函数f(x)与g(x)有两个不同的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1x2，等价于函数h(x)有两个零点x1，x2，且x10时，h(x)在上是增函数，在上是减函数，此时h为函数h(x)的最大值当h0时，h(x)最多有一个零点，hln 0，解得0a1.，且h110，h22ln a132ln a(0a0，F(a)在(0,1)上单调递增，F(a)F(1)3e20，则h0.当0a1时，h(x)在和上各有一个零点，a的取值范围是(0,1)证明：由(1)可知函数h(x)ln xax1在上是增函数，在上是减函数，所以h110.故x11，即1f(x1)0，所以1y10，构造函数G(x)hh(x)ln a(ln xax)，则G(x)2a0，函数G(x)在区间上为减函数0x1G0.又h(x1)0，hln a1h(x1)G(x1)0h(x2)由(1)知x2x1，即ey1ey22，ey1ey22.题型2利用导数解决存在与恒成立问题典例420xx四川高考已知函数f(x)2xln xx22axa2，其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解解(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1ln xa)，所以g(x)2.当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)证明：由f(x)2(x1ln xa)0，解得ax1ln x.令(x)2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x)2(1ln x)22xln x，则(1)10，(e)2(2e)0.于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01ln x0u(x0)，其中u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增，故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0,1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.再由(1)知，f(x)在区间(1)上单调递增，当x(1，x0)时，f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；又当x(0,1时，f(x)(xa0)22xln x0.故x(0，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解1两招破解不等式的恒成立问题(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围(2)函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值(最值)；第三步：构建不等式求解2利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解3利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形(2)构造新的函数h(x)(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值(4)根据单调性及最值，得到所证不等式特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题考点利用导数解决生活中的优化问题典例示法典例520xx江苏高考某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20), 则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时， g(t)0，g(t)是增函数；从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答针对训练某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，代入y10(x6)2，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 全国卷高考真题调研120xx全国卷设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由题意可知存在唯一的整数x0，使得ex0(2x01)ax0a，设g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由g(x)ex(2x1)可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故即所以a1，故选D.220xx全国卷已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)()设a0，则当x(，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增()设a，则ln (2a)0；当x(ln (2a)，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln (2a)，(1，)上单调递增，在(ln (2a)，1)上单调递减若a1，故当x(，1)(ln (2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln (2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，所以f(x)有两个零点()设a0，则f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一个零点()设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增，又当x1时f(x)0，故f(x)不存在两个零点；若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln (2a)上单调递减，在(ln (2a)，)上单调递增，又当x1时f(x)0，故f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)其它省市高考题借鉴320xx陕西高考如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3x答案A解析根据题意知，所求函数在(5,5)上单调递减对于A，yx3x，yx2(x225)，x(5,5)，y1时，f(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)解(1)f(x)x1，x(0，)由f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)则F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)1满足题意当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则G(x)x1k.由G(x)0得，x2(1k)x10.解得x11.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在1，x2)内单调递增从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，k的取值范围是(，1)520xx山东高考已知f(x)a(xln x)，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时，证明f(x)f(x)对于任意的x1,2成立解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0时，f(x).0a1，当x(0,1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增(2)证明：由(1)知，a1时，f(x)f(x)xln xxln x1，x1,2设g(x)xln x，h(x)1，x1,2则f(x)f(x)g(x)h(x)由g(x)0，可得g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号，又h(x).设(x)3x22x6，则(x)在x1,2上单调递减，因为(1)1，(2)10，所以x0(1,2)，使得x(1，x0)时，(x)0，x(x0,2)时，(x)g(1)h(2)，即f(x)f(x)对于任意的x1,2成立一、选择题120xx陕西高考设f(x)xsinx，则f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数答案B解析f(x)xsin(x)(xsinx)f(x)，f(x)为奇函数又f(x)1cosx0，f(x)单调递增，选B.220xx河南洛阳质检对于R上可导的任意函数f(x)，若满足0，则必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)答案A解析当x1时，f(x)1时，f(x)0，此时函数f(x)递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，则f(0)f(2)2f(1)，故选A.320xx河北石家庄模拟若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案B解析2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4，故a的取值范围是(，4420xx河北衡水中学调研已知函数f(x)的两个极值点分别为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，点P(m，n)表示的平面区域为D，若函数yloga(x4)(a1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案A解析f(x)x2mx0的两根为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，则即作出区域D，如图阴影部分，可得loga(14)1，所以1a3.520xx江西八校联考已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a10a0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3答案B解析x0时，f(x)0，0，即0.当x0时，由式知(xf(x)0，U(x)xf(x)在(0，)上为增函数，且U(0)0f(0)0，U(x)xf(x)0在(0，)上恒成立又0，F(x)0在(0，)上恒成立，F(x)在(0，)上无零点当x0时，(xf(x)0在(，0)上恒成立，F(x)xf(x)在(，0)上为减函数当x0时，xf(x)0，F(x)0，F(x)在(，0)上有唯一零点综上所述，F(x)在(，0)(0，)上有唯一零点，故选B.二、填空题720xx山西四校联考函数f(x)若方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_答案解析在平面直角坐标系中作出函数yf(x)的图象，如图，而函数ymx恒过定点，设过点与函数yln x的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0)因为yln x的导函数y，所以图中yln x的切线l1的斜率为k，则，解得x0，所以k.又图中l2的斜率为，故当方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.820xx河南郑州质检三设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x20xx)2f(x20xx)4f(2)0的解集为_答案(，20xx)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0)，则F(x)0(x0即为F(x20xx)F(2)0，即F(x20xx)F(2)，又因为F(x)在(，0)上是减函数，所以x20xx2，x0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有_(1)ff(3)f(0)f(4)f0，且f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(x)(cosx)，所以可构造函数g(x)，则g(x)0，所以g(x)为偶函数且在上单调递增，所以有gg2f，ggf，gf.由函数单调性可知ggg，即ffg(0)f(0)，所以(3)正确三、解答题1020xx珠海模拟某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x324030(x12)(x9)，因为x0，所以P(x)0时，x12，当0x0，当x12时，P(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，当a0时，当0xa时，f(x)a时，f(x)0，所以f(x)在(0，a)上为减函数，f(x)在(a，)上为增函数(2)由题意知xaln x10在x1，)恒成立，设g(x)xaln x1，x1，)，则g(x)1，x1，)，设h(x)2x22ax1ln x，则h(x)4x2a，当a0时，4x为增函数，所以h(x)a0，所以g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当a0时，h(x)a0，所以g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当a时，当x时，2a12x，由(1)知，当a1时，xln x10，ln xx1，ln x1，h(x)2x22axln x12x22ax2x22axx2x2(2a1)x0，此时g(x)0，所以g(x)在上单调递减，在上，g(x)g(1)0，不符合题意综上所述a.1220xx济宁模拟已知函数f(x)exaxa(其中aR，e是自然对数的底数，e2.71828)(1)当ae时，求函数f(x)的极值；(2)当0a1时，求证f(x)0；(3)求证：对任意正整数n，都有e.解(1)当ae时，f(x)exexe，f(x)exe，当x1时，f(x)1时，f(x)0.所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以函数f(x)在x1处取得极小值f(1)e，函数f(x)无极大值(2)证明：由f(x)exaxa，f(x)exa，当a0时，f(x)ex0恒成立，满足条件当0a1时，由f(x)0，得xln a，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，所以函数f(x)在xln a处取得极小值即为最小值f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a因为0a1，所以ln a0，所以aln a0所以f(x)min0，所以当0a1时，f(x)0；(3)证明：由(2)知，当a1时，f(x)0恒成立，所以f(x)exx10恒成立，即exx1，所以ln (x1)x，令x(nN*)，得ln ，所以ln ln ln 1n1.所以e.典题例证20xx全国卷设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，11，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.审题过程求出导函数f(x)然后确定函数f(x)的单调性利用(1)的结论证明不等式；构造新函数，通过研究新函数的单调性进行证明.(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln 1且xln xx1，即11，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.当x0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.模型归纳利用导数证明不等式的模型示意图如下：
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