【导与练】新课标高三数学一轮复习 第3篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 理

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第3篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、2、7、8、11与面积有关的问题6、10、15判断三角形形状3、13实际应用问题5、9综合应用4、12、14、16基础过关一、选择题1.(2014北京西城模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=2,cos(A+B)=13,则c等于(D)(A)4(B)15 (C)3(D)17解析:cos(A+B)=13=-cos C,cos C=-13,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,所以c=17.故选D.2.(2014高考江西卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则2sin2B-sin2Asin2A的值为(D)(A)-19 (B)13(C)1(D)72解析:由正弦定理可得2sin2B-sin2Asin2A=2(sinBsinA)2-1=2(ba)2-1,因为3a=2b,所以ba=32,所以2sin2B-sin2Asin2A=2(32)2-1=72.故选D.3.(2014江西省七校第一次联考)在ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则ABC的形状一定是(D)(A)等边三角形(B)不含60的等腰三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cos Asin B,sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=2,故三角形为直角三角形.故选D.4.(2014烟台模拟)在ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c,则A等于(C)(A)2(B)3(C)23(D)56解析:由lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c,整理得,lg(a+c)(a-c)=lg b(b+c),(a+c)(a-c)=b(b+c),得b2+c2-a2=-bc.cos A=b2+c2-a22bc=-12,又A(0,),A=23.故选C.5. (2014广州调研)如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan 等于(A) (A)2315(B)516(C)23116(D)115解析:由题意,可得在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,所以sin =23116,所以tan =sincos=2315.故选A.6.在ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若内角A、B、C依次成等差数列,且不等式-x2+6x-80的解集为x|ax0的解集为x|2x4,a=2,c=4,又角A、B、C依次成等差数列,B=3,于是SABC=1224sin 3=23.故选B.二、填空题7.(2014惠州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为.解析:由余弦定理,得a2+c2-b22ac=cos B,结合已知等式得cos Btan B=32,sin B=32,B=3或23.答案:3或238.(2014菏泽一模)在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,则b=.解析:根据正弦定理和余弦定理由sin Acos C=3cos Asin C得:a2Ra2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bcc2Ra2+b2-c2=3(b2+c2-a2),a2-c2=b22.解方程组a2-c2=2b,a2-c2=b22,b=4.答案:49. (2014大连联考)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高是.解析:在BCD中,CD=10,BDC=45,BCD=15+90=105,DBC=30,BCsin45=CDsin30,BC=CDsin45sin30=102.在RtABC中tan 60=ABBC,AB=BCtan 60=106.答案:10610.(2014高考新课标全国卷)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.解析:把正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C代入已知得(2+b)(a-b)=(c-b)c,(2+b)(2-b)=(c-b)c.4-b2=c2-bc,b2+c2-bc=4.cos A=b2+c2-a22bc=4+bc-42bc=12.A=60.又b2+c2=4+bc2bc,bc4.SABC=12bcsin A=1232bc=34bc344=3.当且仅当b=c=2时取等号,故ABC面积的最大值为3.答案:3三、解答题11.(2014高考北京卷)如图,在ABC中,B=3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=17.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长.解:(1)在ADC中,因为cosADC=17,所以sinADC=437.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=43712-1732=3314.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=ABsinBADsinADB=83314437=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-28512=49.所以AC=7.12. (2014高考湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cos CAD的值;(2)若cos BAD=-714,sin CBA=216,求BC的长.解:(1)在ADC中,由余弦定理,得cos CAD=AC2+AD2-CD22ACAD.故由题设知,cos CAD=7+1-427=277.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cos CAD=277,cos BAD=-714,所以sin CAD=1-cos2CAD=1-(277)2=217,sin BAD=1-cos2BAD=1-(-714)2=32114.于是sin =sin(BAD-CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD=32114277-(-714)217=32.在ABC中,由正弦定理,BCsin=ACsinCBA.故BC=ACsinsinCBA=732216=3.能力提升13.(2014咸阳三模)设ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且(BA+BC)AC=0,则ABC的形状是(C)(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰非等边三角形解析:由题得2B=A+C,3B=得B=3,设AC中点D,则(BA+BC)AC=2BDAC=0即BDAC得a=c.所以ABC为等腰三角形,又因为B=6,所以ABC为等边三角形.故选C.14.(2014高考江苏卷)若ABC的内角满足sin A+2sin B=2sin C,则cos C的最小值是.解析:由正弦定理可得a+2b=2c,又cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=3a2+2b2-22ab8ab26ab-22ab8ab=6-24,当且仅当3a=2b时取等号,所以cos C的最小值是6-24.答案:6-2415.(2014德州模拟)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,m=(sin A,1),n=(cos A,3),且mn.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=22,求ABC的面积.解:(1)因为mn,所以3sin A-cos A=0,tan A=33.因为A(0,),所以A=6.(2)由正弦定理可得sin B=bsinAa=22,因为ab,所以AB,B=4或34.当B=4时,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2(1+3)4.所以SABC=12absin C=1+3;当B=34时,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2(3-1)4,所以SABC=12absin C=3-1.故ABC的面积为1+3或3-1.探究创新16.(2014咸阳二模)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABC的面积为S=32accos B.(1)若c=2a,求角A,B,C的大小;(2)若a=2,且4A3,求边c的取值范围.解:由三角形面积公式及已知得S=12acsin B=32accos B,化简得sin B=3cos B,即tan B=3,又0B,故B=3.(1)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-2a2=3a2,b=3a.abc=132,知A=6,C=2.(2)由正弦定理得asinA=csinC,即c=asinCsinA=2sinCsinA,由C=23-A,得c=2sin(23-A)sinA=2(sin 23cosA-cos 23sinA)sinA=3tanA+1,又由4A3,知1tan A3,故c2,3+1.