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选考部分第十二篇几何证明选讲(选修41)第1节 相似三角形的判定及有关性质课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号平行线截割定理及应用1、4、7、8、12、13相似三角形的判定与性质2、6、7、9、10、11直角三角形中的射影定理3、5、11一、选择题1.如图所示,在ABC中,DEBC,DFAC,AE=2,AC=3,BC=4,则BF的长为(B)(A)13(B)43(C)83(D)163解析:因为DEBC,所以ADAB=AEAC=23,因为DFAC,所以ADAB=CFCB,由得23=CF4,解得CF=83.故BF=4-83=43.2.如图所示,ABCD中,AEEB=25,若AEF的面积等于4 cm2,则CDF的面积等于(D)(A)10 cm2(B)16 cm2(C)25 cm2(D)49 cm2解析:ABCD中,AEFCDF,由AEEB=25,得AECD=27,SAEFSCDF=（AECD）2=（27）2,SCDF=（72）2×SAEF=494×4=49 (cm2).3.一个直角三角形的一条直角边为3,斜边上的高为125,则这个三角形的外接圆半径是(B)(A)5(B)52(C)54(D)25解析:长为3的直角边在斜边上的射影为32-1252=95,故由射影定理知斜边长为3295=5,因此这个直角三角形的外接圆半径为52.4.(2014汉中模拟)如图,在梯形ABCD中,E为AD的中点,EFAB,EF=30 cm,AC交EF于G,若FG-EG=10 cm,则AB等于(B)(A)30 cm(B)40 cm(C)50 cm(D)60 cm解析:因为EF=30 cm,即FG+EG=30 cm,又FG-EG=10 cm,所以FG=20 cm.因为E为AD的中点,EFAB,所以F为BC的中点,所以G为AC的中点,所以AB=2GF=2×20=40(cm).二、填空题5.已知圆O的直径AB=4,C为圆上一点,过C作CDAB于D,若CD=3,则AC=. 解析:因AB为圆O的直径,所以ACB=90°,设AD=x,因为CDAB,由射影定理得CD2=AD·DB,即(3)2=x(4-x).整理得x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当AD=1时,得AC=2;当x=3时,得AC=23.答案:2或236.(2014永州模拟)如图,ABC中,BC=4,BAC=120°,ADBC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF=. 解析:设AE=x,因为BAC=120°,所以EAB=60°.又AEEB,所以AB=2x,BE=3x,所以AEBE=x3x=13.在RtAEF与RtBEC中,F=90°-EAF=90°-DAC=C,FEA=BEC=90°,所以AEFBEC,所以AFBC=AEBE,所以AF=4×13=433.答案:4337.如图所示,在梯形ABCD中,ABCD,AB=4,CD=2,E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EFAB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为. 解析:延长AD、BC交于点H,由DCEF知SHDCSHEF=（CDEF）2=49,SHDCS梯形DCFE=45,由DCAB知SHDCSABH=（DCAB）2=416,SHDCS梯形ABCD=412,S梯形ABFES梯形EFCD=75.答案:758.如图,ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,过A作AHBE.连接ED并延长交AB于F,交AH于H.如果AB=4AF,EH=8,则DF=. 解析:AHBE,HFHE=AFAB.AB=4AF,HFHE=14.HE=8,HF=2.AHBE,HDDE=ADDC.D是AC的中点,HDDE=1.HE=HD+DE=8,HD=4,DF=HD-HF=4-2=2.答案:29.如图所示,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,ADBC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为. 解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E是半圆周上的两个三等分点,所以AEBC,AE=12BC=2,所以AFEDFB,所以AFDF=AEDB.在AOD中,AOD=60°,AO=2,ADBC,故OD=AOcos AOD=1,AD=AOsin AOD=3,所以BD=1.故AF=AEBD·DF=2(AD-AF).解得AF=233.答案:233三、解答题10.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=12CD.(1)求证:ABFCEB;(2)若DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,A=C,ABCD.ABF=CEB.ABFCEB.(2)解:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABCD.DEFCEB,DEFABF.DE=12CD,SDEFSCEB=DEEC2=19,SDEFSABF=DEAB2=14.SDEF=2,SCEB=18,SABF=8.S四边形BCDF=SCEB-SDEF=16.S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+SABF=16+8=24.11.(2014湛江模拟)已知RtABC中,BAC=90°,ADBC,垂足为D,DFAC,垂足为F,DEAB,垂足为E.求证:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.证明:(1)因为ABDCBA,所以ABAD=BCAC,即AB·AC=AD·BC.(2)AD2=BD·DC,AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,AD3=BC·BE·CF.12.如图所示,梯形ABCD中,ADBC,EF经过梯形对角线的交点O,且EFAD.(1)求证:OE=OF;(2)求:OEAD+OEBC的值;(3)求证:1AD+1BC=2EF.(1)证明:EFAD,ADBC,EFADBC.EFBC,OEBC=AEAB,OFBC=DFDC.EFADBC,AEAB=DFDC.OEBC=OFBC,OE=OF.(2)解:OEAD,OEAD=BEAB.由(1)知,OEBC=AEAB,OEAD+OEBC=BEAB+AEAB=BE+AEAB=1.(3)证明:由(2)知OEAD+OEBC=1,2OEAD+2OEBC=2.又EF=2OE,EFAD+EFBC=2,1AD+1BC=2EF.13.(2014吉林模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,P是BD上任意一点,过P点的直线分别交AB,DC于E,F,交DA,BC的延长线于G,H.(1)求证:PE·PG=PF·PH.(2)当过P点的直线绕点P旋转到F,H,C重合时,请判断PE,PC,PG的关系,并给出证明.(1) 证明:因为ABCD,所以PEPF=PBPD,因为ADBC,所以PHPG=PBPD,所以PEPF=PHPG,所以PE·PG=PF·PH.(2)解:由题意可得到图形,关系式为PC2=PE·PG.证明如下:因为ABCD,所以PEPC=PBPD,因为ADBC,所以PCPG=PBPD,所以PEPC=PCPG,即PC2=PE·PG.
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