【导与练】新课标高三数学一轮复习 第7篇 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课时训练 理

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第7篇 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号与垂直相关命题的判断1、2、10直线与平面垂直4、7、11、14平面与平面垂直3、6、8、14线面角、二面角5、9、15综合问题12、13、16基础过关一、选择题1.(2014山东省青岛一中调研)设a,b,c表示三条直线,表示两个平面,则下列命题中不正确的是(D)(A)cc(B)abbc是a在内的射影bc(C)bcbcc(D)abab解析:对于选项D,可能还有b或者b与相交,所以D不正确.2.(2014郑州模拟)如图,O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是(D)(A)A1D (B)AA1(C)A1D1(D)A1C1解析:由题图易知,A1C1平面BB1D1D,又OB1平面DD1B1B,A1C1B1O.故选D.3.如图所示,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45°,BAD=90°.将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是(D)(A)平面ABD平面ABC(B)平面ADC平面BDC(C)平面ABC平面BDC(D)平面ADC平面ABC解析:在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45°,BAD=90°,BDCD.又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,故CD平面ABD,则CDAB.又ADAB,ADCD=D,故AB平面ADC.又AB平面ABC,平面ABC平面ADC.故选D.4.(2014北京朝阳模拟)已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面与直线m垂直,则直线n与平面的关系是(A)(A)n (B)n或n(C)n或n与不平行(D)n解析:l,且l与n异面,n,又m,nm,n.故选A.5.把等腰直角ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC,则BD与平面ABC所成角的正切值为(B)(A)2(B)22(C)1(D)33解析:如图所示,在平面ADC中,过D作DEAC,交AC于点E,连接BE,因为二面角BADC为直二面角,BDAD,所以BD平面ADC,故BDAC,又DEBD=D,因此AC平面BDE,又AC平面ABC,所以平面BDE平面ABC,故DBE就是BD与平面ABC所成的角,在RtDBE中,易求tan DBE=22,故选B.6.(2014广州模拟)已知在空间四边形ABCD中,ADBC,ADBD,且BCD是锐角三角形,则必有(C)(A)平面ABD平面ADC(B)平面ABD平面ABC(C)平面ADC平面BDC(D)平面ABC平面BDC解析:ADBC,ADBD,BCBD=B,AD平面BDC,又AD平面ADC,平面ADC平面BDC.故选C.7.(2014山东临沂模拟)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为(A)(A)12(B)1(C)32(D)2解析:设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可以得A1B1=2,矩形ABB1A1中,tan FDB1=B1FB1D,tan A1AB=A1B1AA1=22,又FDB=A1AB,所以B1FB1D=22,故B1F=22×22=12.故选A.二、填空题8.(2015山东潍坊质检)如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析:连接AC,BD交于O,底面各边相等,BDAC;又PA底面ABCD,PABD,又PAAC=A,BD平面PAC,BDPC.当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC)9.四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,一个对角面的面积是一个侧面面积的62倍,则侧面与底面所成锐二面角等于. 解析:如图所示,根据122ah12ah'=62,得hh'=32,即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值,故侧面与底面所成锐二面角为3.答案:310.(2014辽宁大连模拟)已知a、b、l表示三条不同的直线,、表示三个不同的平面,有下列四个命题:若=a,=b,且ab,则;若a、b相交,且都在、外,a,a,b,b,则;若,=a,b,ab,则b;若a,b,la,lb,l,则l.其中正确命题的序号是. 解析:若平面、两两相交于三条直线,则有交线平行,故不正确.因为a、b相交,假设其确定的平面为,根据a,b,可得.同理可得,因此,正确.由面面垂直的性质定理知正确.当ab时,l垂直于平面内两条不相交直线,不能得出l,错误.答案:11.(2014海南雷州模拟) 在正四棱锥PABCD中,PA=32AB,M是BC的中点,G是PAD的重心,则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有条. 解析:如图,设正四棱锥的底面边长为a,则侧棱长为32a.由PMBC,PM=(32a) 2-(a2) 2=22a.连接PG并延长与AD相交于N点,则PN=22a,MN=AB=a,PM2+PN2=MN2,PMPN,又PMAD,PNAD=N,PM平面PAD,在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直.答案:无数三、解答题12.(2014高考新课标全国卷)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,由于BC1AO=O,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)解:作ODBC,垂足为D,连接AD,作OHAD,垂足为H,由于BCAO,BCOD,且AOOD=O,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,且ADBC=D,所以OH平面ABC.因为CBB1=60°,所以CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=34.因为ACAB1,所以OA=12B1C=12.由OH·AD=OD·OA,且AD=OD2+OA2=74,得OH=2114.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为217,故三棱柱ABCA1B1C1的高为217.13.(2013高考浙江卷)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,ABC=120°,G为线段PC上的点.(1)证明:BD平面APC;(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;(3)若G满足PC平面BGD,求PGGC的值.(1)证明:设点O为AC,BD的交点.由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线,所以O为AC的中点,BDAC.又因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD,所以BD平面APC.(2)解:连接OG.由(1)可知,OD平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以OGD是DG与平面APC所成的角.由题意得OG=12PA=32.在ABC中,AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosABC=4+4-2×2×2×(-12)=23,所以OC=12AC=3.在直角OCD中,OD=CD2-OC2=7-3=2.在直角OGD中,tanOGD=ODOG=433.所以DG与平面APC所成的角的正切值为433.(3)解:因为PC平面BGD,OG平面BGD,所以PCOG.在直角PAC中,PC=PA2+AC2=3+12=15,所以GC=AC·OCPC=23×315=2155.从而PG=3155,所以PGGC=32.能力提升14.如图所示,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABCF.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是. 解析:如图所示,过D作DGAF,垂足为G,连接GK,平面ABD平面ABCF,DKAB,DK平面ABCF,DKAF.而DGDK=D,AF平面DKG,AFGK.容易得到,当F接近E点时K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点,t的取值范围是12,1.答案:12,115.(2013高考山东卷)如图所示,在三棱锥PABQ中,PB平面ABQ,BA=BP=BQ,D、C、E、F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:ABGH;(2)求二面角DGHE的余弦值.(1)证明:由D、C、E、F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,知G,H分别是PAQ,PBQ的重心.PGPD=PHPC=23.GHDC.又D,C为AQ,BQ的中点,则DCAB,ABGH.(2)解:在ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90°,即ABBQ,因为PB平面ABQ,所以ABPB.又BPBQ=B,所以AB平面PBQ.由(1)知ABGH,所以GH平面PBQ.又FH平面PBQ,所以GHFH.同理可得GHHC,所以FHC为二面角DGHE的平面角.设BA=BQ=BP=2,连接FC,在RtFBC中,由勾股定理得FC=2,在RtPBC中,由勾股定理得PC=5.又H为PBQ的重心,所以HC=13PC=53.同理FH=53.在FHC中,由余弦定理得cosFHC=FH2+HC2-FC22·FH·HC=59+59-22×59=-45.即二面角DGHE的余弦值为-45.探究创新16.如图所示,在直角三角形ABC中,ACB=30°,ABC=90°,D为AC的中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于点F,将ABD沿BD折起,二面角ABDC的大小记为,如图所示.(1)求证:平面AEF平面BCD;(2)当cos 为何值时,ABCD.(1)证明:在题图中,D为RtABC斜边AC的中点,ACB=30°,AD=AB.又E为BD的中点,BDAE,BDEF.在题图中,BDAE,BDEF,AEEF=E,BD平面AEF.又BD平面BCD,平面AEF平面BCD.(2)解:过A作AOEF,交EF的延长线于点O,连接BO交CD的延长线于点G.由(1)知平面AEF平面BCD,AO平面BCD,BO即为AB在平面BCD上的射影.要使ABCD,只需BGCD.AEF=,AEO=180-.ABD为正三角形,且BGCD.因此,G为AD的中点,即O为ABD的重心.cos AEO=OEAE=13,即cos(180°-)=13,当cos =-13时,ABCD.