【导与练】新课标高三数学一轮复习 第7篇 空间向量在立体几何中的应用一学案 理

第四十六课时 空间向量在立体几何中的应用 (一)课前预习案考纲要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量。2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。基础知识梳理1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行设直线和的方向向量分别为和，则或与重合_.已知两个不共线向量，与平面共面，直线的一个方向向量为，则或在内_.已知两个不共线的向量，与平面共面，则或与重合_.2.用向量运算证明两条直线垂直设直线和的方向向量分别为和，则_.3.用向量运算求两条直线所成的角设直线和的方向向量分别为和，直线和所成的角为，则与的关系是_，即_.两条异面直线所成角的范围是_.4.用平面的法向量证明两个平面平行或垂直设分别是平面的法向量，则或与重合_；_.5.直线与平面的夹角(1)_叫做斜线和平面所成的角,斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_(2)直线与平面所成角的范围是_.(3)若斜线与它在平面内射影的夹角为,此射影与平面内直线的夹角为,斜线与平面内该直线的夹角为,则之间的关系是_6.利用平面的法向量求直线和平面所成的角直线的方向向量，平面的法向量为，与所成的角为，则sin= 预习自测1、以点为顶点的三角形是( )A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、无法判断2、已知，则向量与的夹角是（ ）A、 B、 C、 D、3、正方体中，与平面所成角的余弦值为( )A、 B、 C、 D、4、在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )A B C D . 5、设，则与平行的单位向量的坐标为 .6、已知，求平面的一个法向量.课堂探究案典型例题考点1：利用向量证明平行与垂直问题【典例1】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（1）求证：AF平面BDE；（2）求证：CF平面BDE。考点2 利用向量求两条异面直线所成的角【典例2】【2012上海】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小。考点3：利用向量求直线与平面所成的角【典例3】如图,三棱柱中,，,.(1)证明：；(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.【变式1】 如图，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且（1）证明：平面平面; （2）求直线AD和平面所成角的正弦值。当堂检测1、已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )（A） (B) (C) (D) 2、（2013年湖南卷）如图,在直棱柱,.(1)证明:；(2)求直线与平面所成角的正弦值.课后拓展案 A组全员必做题1、正四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D2、已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 3、【2012陕西】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. B组4、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。（1）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F/平面A1BE？证明你的结论。A DB CA1 D1B1 C1EB组提高选做题在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论 参考答案预习自测1.A 2.A 3.D 4.C5.或6.解：设为平面的一个法向量，则即令，得，即平面的一个法向量为典型例题【典例1】证明：（1）设、交点为，连接，正方形边长为，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）平面平面，平面平面，平面，平面，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，又，平面【典例2】解：（1）为矩形，底面，平面，又，平面，（2），即异面直线与所成的角大小为【典例3】（1）证明：取中点，连接、，又，又，平面，（2）解：平面平面，平面，两两垂直以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，则即令，则，设直线与平面所成角为，【变式1】（1）证明：该棱柱为正三棱柱，平面，平面，又，平面，平面，平面平面（2）解：取中点，中点,连接,以为原点，,所在直线为轴，轴,轴建立空间直角坐标系（图略），则，, ，.设为平面的一个法向量，则令，则，.设直线与平面所成角为， ，故直线与平面所成角的正弦值为.当堂检测C（1）证明：该棱柱为直棱柱，平面，平面，又，平面，平面，.（2）分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设=，则，则，设为平面的一个法向量，则令，则设直线与平面所成的角为， A组全员必做题1.D2.A3.A4.解：分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（图略），设棱长为2，则，平面的一个法向量，（1）设直线与平面所成角为，则（2），设为平面的一个法向量，则即整理得令，得设，则，解得，即是棱中点时，平面B组提高选做题(1)证明如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解设G(x,0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即G点为AD的中点