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第十三课时 函数的奇偶性课前预习案考纲要求1掌握奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2掌握奇函数、偶函数的图象与性质；3会应用奇函数、偶函数解决问题基础知识梳理1.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做-;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)叫做- ;2.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=-.如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是-;如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是-3.奇偶函数的性质:(1)具有奇偶性的函数定义域关于-对称.(2)奇函数的图象关于-对称, 偶函数的图象关于-对称.(3)奇函数在对称区间上的单调性-,偶函数在对称区间上的单调性-.(4)y=f(a+x)是偶函数 f(a+x)= f(a-x) f(x)= f(2a-x) f(x)关于x=a对称;(5)y=f(b+x)是奇函数f(b-x)=f(b+x)f(x)关于(b,0)成中心对称图形.预习自测1.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 2.（2013山东理3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+ ,则f(-1)= ( ) （A）-2 （B）0 （C）1 （D）2 3.已知是定义在R上的奇函数，当时，则）在R上的表达式是（）A B C D4.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则 。5.（2012年高考（重庆文）函数 为偶函数,则实数_课堂探究案考点1. 判断函数的奇偶性【典例1】判断下列函数的奇偶性：（1）；(2)；（3）； （4）【变式1】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）.考点2. 利用函数的奇偶性求参数范围.【典例2】若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：【变式2】若奇函数f(x)是定义在(1，1)上的减函数，且f(a3)+f(9a2)<0,则a的取值范围是( )A (2，3)B (3，) C (2，4)D (2，3)考点3. 抽象函数奇偶性的判断【典例3】已知函数f(x)对一切x,yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,用a表示f(12).【变式3】已知函数对任意实数，均有，且存在非零常数（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明.考点4. 函数性质的综合应用【典例4】已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，又（1）求证：为奇函数；（2）求证：在R上是减函数；（3）求在，6上的最大值与最小值【变式4】已知函数是偶函数，在0，2上是单调减函数，则（ ）A. B. C. D. 考点5. 函数的周期性【典例5】设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是()Aa<1或a Ba<1 C1<a Da【变式5】设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x3)·f(x)1，f(1)2，则f(2011)_.当堂检测1已知函数是偶函数，且其定义域为，则（）A，b0 B，b0 C，b0 D，b02已知是定义在R上的偶函数，它在上递减，那么一定有（ ）ABCD3设函数为奇函数，则=（ ）A0B1CD54设是定义在上的奇函数，且当时，则 5已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有，则 课后拓展案 A组全员必做题1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（ ）（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件2下列命题中，真命题是（ ）A函数是奇函数，且在定义域内为减函数B函数是奇函数，且在定义域内为增函数C函数是偶函数，且在（3，0）上为减函数D函数是偶函数，且在（0，2）上为增函数3 若，都是奇函数，在（0，）上有最大值5，则在（，0）上有（）A最小值5B最大值5 C最小值1D最大值34定义在R上的奇函数在（0，+）上是增函数，又，则不等式的解集为（ ）A（3，0）（0，3）B（，3）（3，+）C（3，0）（3，+）D（，3）（0，3）5.（2013广东理2）定义域为的四个函数,中,奇函数的个数是( )A . B C D6.已知函数是偶函数，在0，3上是单调增函数，则（ ）A. B. C. D. 7.（2013山东高考理8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 （ ）A B C D 8已知为奇函数，当（0，1）时，lg，那么当（1，0）时，的表达式是-9.(2013江苏11)已知是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集用区间表示为 _ .10已知是奇函数，则= -.B组提高选做题1若是偶函数，当0，+)时，则的解集是-.2.已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为-.3已知函数是奇函数，又，求、的值.参考答案预习自测1.D 2.A 3.D4.5.4典型例题【典例1】解：（1），解得，即定义域为该函数为非奇非偶函数（2），解得，即定义域为又，该函数为偶函数（3）或又，该函数为偶函数（4）时，；时，该函数为奇函数【变式1】【解析】（1）函数的定义域，关于坐标原点对称.，是奇函数.（2）由得故的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，=，故为奇函数.【典例2】【解析】由已知得因f(x)是奇函数，故 ，于是又是定义在（1，1）上的增函数，从而即不等式的解集是【变式2】【答案】A【解析】f(x)是定义在(1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0 f(a3)f(a29) a(2,3) 【典例3】（1）证明：令，则，令，得，该函数为奇函数（2）解：为奇函数，【变式3】【解析】（1）均有 （2）令，为偶函数 【典例4】（1）证明：令，则，.令，则，函数为奇函数（2）证明：取，则，在上是减函数（3）在上是减函数，【变式4】【答案】A【解析】由f（x2）在0，2上单调递减，在2，0上单调递减.是偶函数，在0，2上单调递增. 又，故应选A.【典例5】C【变式5】当堂检测1【答案】A【解析】由为偶函数，得b0由定义域a-1，2a关于原点对称得a=,故选A.2【答案】B【解析】，又在上递减，.是定义在R上的偶函数，故选B.3【答案】C【解析】由题意得，而，故，.4【答案】【解析】是定义在上的奇函数，.5【答案】【解析】由题意可得.函数的周期为6. ，而. A组全员必做题1.D2.C3.C4.A5.C6.D7.D8. 9. 10.B组提高选做题1.2.3.解：，又，,b=,=<3,即-1<a<2,又az,a=0或1，当a=0时，b=.舍去，当a=1时，b=.满足条件，a=1,b=1,c=0.
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