【导与练】新课标高三数学一轮复习 大题冲关集训二理

大题冲关集训(二)1.已知函数f(x)=4cos x·sin(x+4)(>0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间0,2上的单调性.解:(1)f(x)=4cos xsin xcos 4+cos xsin 4=4cos x22sin x+22cos x=22sin xcos x+22cos2 x=2sin 2x+2(cos 2x+1)=2sin 2x+2cos 2x+2=2sin(2x+4)+2,因为f(x)的最小正周期为且>0,故22=,则=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+4)+2.若0x2,则42x+454.当42x+42,即0x8时,f(x)单调递增;当2<2x+454,即8<x2时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间0,8上单调递增,在区间(8,2上单调递减.2.(2014高考辽宁卷)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA·BC=2,cos B=13,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解:(1)由BA·BC=2,得c·acos B=2,又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-(13) 2=223,由正弦定理,得sin C=cbsin B=23×223=429.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C=1-sin2C=1-(429) 2=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=13×79+223×429=2327.3.(2014资阳二模)已知f(x)=sin(2x+6)+cos(2x-3).(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(C)=1,c=23,sin A=2sin B,求ABC的面积.解:(1)f(x)=sin(2x+6)+cos(2x-3)=32sin 2x+12cos 2x+12cos 2x+32sin 2x=3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+6).当2x+6=2k+2,kZ,即x=k+6,kZ时,函数f(x)取得最大值2.(2)由f(C)=2sin(2C+6)=1,得sin(2C+6)=12,6<2C+6<2+6,2C+6=56,解得C=3.因为sin A=2sin B,根据正弦定理,得a=2b,由余弦定理,有c2=a2+b2-2abcos C,则(23)2=4b2+b2-2×2b2cos 3=3b2,解得b=2,a=4,故ABC的面积SABC=12absin C=12×4×2×sin 3=23.4.(2014上饶市二模)设aR函数f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(2+x)满足f(-3)=f(0).(1)求f(x)的单调递减区间;(2)设锐角ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a2+c2-b2a2+b2-c2=c2a-c,求f(A)的取值范围.解:(1)f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(2+x)=a2sin 2x-cos 2x,由f(-3)=f(0)得-3a4+12=-1,a=23,f(x)=3sin 2x-cos 2x=2sin(2x-6),由2k+22x-62k+32得k+3xk+56,kZ,f(x)的单调递减区间为k+3,k+56.(2)a2+c2-b2a2+b2-c2=c2a-c,由余弦定理得2accosB2abcosC=ccosBbcosC=c2a-c,即2acos B-ccos B=bcos C,由正弦定理得2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,cos B=12,B=3,ABC为锐角三角形,6<A<2,6<2A-6<56,f(A)=2sin(2A-6)的取值范围为(1,2.5.(2014贵阳模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=3.(1)若b2=ac,求角A,C的大小.(2)求sin A+sin C的取值范围.解:(1)由已知B=3,在ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 3=a2+c2-ac,又已知b2=ac,所以a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,所以a=c,所以A=C,而A+C=-3=23,所以A=C=3.(2)由已知得sin A+sin C=sin A+sin(23-A)=32sin A+32cos A=3（32sin A+12cos A）=3sin（A+6）,因为A（0,23）,所以6<A+6<56,所以sin（A+6）(12,1,所以3sin (A+6)(32,3,即sin A+sin C的取值范围为(32,3.6. 函数f(x)=6cos2x2+3sin x-3(>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且ABC为正三角形.(1)求的值及函数f(x)的值域;(2)若f(x0)=835,且x0(-103,23),求f(x0+1)的值.解:(1)f(x)=6cos2x2+3sin x-3=3cos x+3sin x=23sin(x+3).由题意知正三角形ABC的高为23,则BC=4,所以函数f(x)的周期T=4×2=8,即2=8,解得=4.所以函数f(x)的值域为-23,23.(2)因为f(x0)=835,由(1)有f(x0)=23sin(x04+3)=835,即sin(x04+3)=45,由x0(-103,23),得x04+3(-2,2).即cos(x04+3)=1-(45) 2=35,故f(x0+1)=23sin(x04+4+3)=23sin(x04+3)+4=23sin(x04+3)cos4+cos(x04+3)sin4=23(45×22+35×22)=765.7.(2014昆明模拟)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,且2cos 2B-8cos B+5=0,求角B的大小,并判断ABC的形状.解:因为2cos 2B-8cos B+5=0,所以2(2cos2B-1)-8cos B+5=0.所以4cos2B-8cos B+3=0,即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.解得cos B=12或cos B=32(舍去).因为0<B<,所以B=3.因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.所以cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-(a+c2) 22ac=12,化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.所以ABC是等边三角形.8.(2014福州模拟)已知函数f(x)=2cos x2(3cos x2-sin x2),在ABC中,有f(A)=3+1.(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值;(2)若a=1,求ABC面积的最大值.解:(1)f(x)=2cos x2(3cos x2-sin x2)=23cos2x2-2sin x2cos x2=3+3cos x-sin x=3+2sin（3-x）,由f(A)=3+1,可得3+2sin（3-A）=3+1,所以sin（3-A）=12.又A(0,),所以3-A（-23,3）,所以3-A=6,即A=6.由a2-c2=b2-mbc及余弦定理,可得m2=b2+c2-a22bc=cos A=32,所以m=3.(2)由(1)知cos A=32,则sin A=12,又b2+c2-a22bc=cos A=32,所以b2+c2-a2=3bc2bc-a2,即bc(2+3)a2=2+3,当且仅当b=c时等号成立,所以SABC=12cbsin A2+34,即ABC面积的最大值为2+34.