【备战】四川版高考数学分项汇编 专题3 导数含解析文

第三章 导数1.【2007四川，文20】(本小题满分12分)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为（）求的值.（）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.【答案】（）；（2）取得最小值为，取得最大值为.【考点】本题考察函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的运用等基础知识，以及推理能力和运算能力.2.【2008四川，文20】（本小题满分12分） 设和是函数的两个极值点。（）求和的值；（）求的单调区间【答案】：（）；（）的单调增区间是，单调减区间是.【考点】：此题重点考察利用导数研究函数的极值点，单调性，最值问题；【突破】：熟悉函数的求导公式，理解函数极值与导数、函数单调性与导数的关系；重视图象或示意图的辅助作用。3.【2009四川，文20】（本小题满分12分）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.【答案】（I）；（II）当时，函数无极值；当时， 当时，有极大值；当时，有极小值.4.【2010四川，文22】（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）求；（）当时，恒有成立，求t的取值范围；（）当0a时，试比较f(1)+f(2)+f(n)与的大小，并说明理由.【答案】（），；（）当时，；当时，；（），证明略.【命题意图】本题主要考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想，以及推理论证与分析问题、解决问题的能力.5.【2012四川，文22】(本小题满分14分)已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由.6.【2013四川，文21】(本小题满分14分)已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且。（）指出函数的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；（）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。则，7.【2014四川，文21】已知函数，其中，为自然对数的底数。（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有零点，证明：.【答案】（）当时， ；当时， ；当时， .（）的范围为.【解析】试题分析：（）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解析：（）当时，所以.当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以.（）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点. 由（）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有.解得.所以，函数在区间内有零点时，.【考点定位】导数的应用及函数的零点.考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.8. 【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .【答案】1【解析】试题分析：，即切线斜率，又，切点为（1，），切线过（2,7），解得1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；9. 【2015高考四川，文21】已知函数f(x)2lnxx22axa2，其中a>0.()设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；()证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.【解析】()由已知，函数f(x)的定义域为(0，)g(x)f '(x)2(x1lnxa)所以g'(x)2当x(0，1)时，g'(x)0，g(x)单调递减当x(1，)时，g'(x)0，g(x)单调递增()由f '(x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx则(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u'(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)当aa0时，有f '(x0)0，f(x0)(x0)0再由()知，f '(x)在区间(1，)上单调递增当x(1，x0)时，f '(x)0，从而f(x)f(x0)0当x(x0，)时，f '(x)0，从而f(x)f(x0)0又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xlnx0故x(0，)时，f(x)0综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.