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高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题.4.结合函数yx，yx2，yx3，yx，的图象，了解它们的变化情况2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.1. 课本结论总结：指数与指数函数1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质对数与对数函数1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM.(2)对数的性质alogaN_N_；logaaN_N_(a0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a-2x得x-, ，单调递减，由于，得3x+1-2x解得x-【经典理由】根据a的取值进行分类讨论(3)新课标A版第 72 页，例8 比较下列各组数中两个数的大小：（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7；（3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 (且)解：（1） y = log 2 x 在 ( 0 , + ) 上是增函数且 3 . 48 . 5， log 2 3 . 4 log 2 8 . 5 ；（2） y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + )上是减函数且 1 . 82 . 7，log 0 . 3 1 . 8log 0 . 3 2 . 7； （3）解：当时， y = log a x在( 0 , + ) 上是增函数且5 . 15 . 9， log a 5 . 1log a 5 . 9，当0a1时， y = log a x在 ( 0 , + ) 上是减函数且5 . 15 . 9， log a 5 . 1log a 5 . 9 【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用(4)新课标A版第 822 页，A组第10题已知幂函数，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性【分析】根据幂函数的概念设，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+）的单调性，进而画出函数的图象【解析】设,因为幂函数,，这个函数解析式为 定义域为（0，+），它不关于原点对称，所以，y=f（x）是非奇非偶函数当x0时，f（x）是单调减函数，函数的图象如图【经典理由】本题通过待定系数法求幂函数解析式、解指数方程的解法、奇（偶）函数性、幂函数图象考查学生对幂函数有关知识的掌握程度和对知识的综合应用能力6.考点交汇展示：(1)基本初等函数与集合交汇例1【河北省“五个一名校联盟”20xx高三教学质量监测(一)1】设集合，则( )A.AB B.AB C.AB D.AB【答案】B考点：1.一元二次不等式解法；2.指数不等式解法；3.集合间关系与集合运算.例2 设集合，则等于(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】M，N，故考点：1.简单不等式的解法；2.对数函数的性质；3.集合的运算.(2)基本初等函数与基本不等式交汇例1【成都石室中学高三上期“一诊”模拟考试（一）】已知二次函数的值域为，则的最小值为 .【答案】3【解析】由题意得：.考点：1.二次函数的图象和性质；2.基本不等式.【考点分类】热点1 指数函数、对数函数1. 【20xx高考四川，理8】设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 （ ）（A） 充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B考点:1.充要条件；2.指数函数、对数函数的性质.2. 设，函数在单调递减，则（ ）A在上单调递减，在上单调递增 B在上单调递增，在上单调递减C在上单调递增，在上单调递增 D在上单调递减，在上单调递减【答案】A【解析】由的图像可知，函数在在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，因函数在单调递减，故根据同增异减可知，故答案为A考点：1.对数函数的性质；2.复合函数的单调性.3.【20xx辽宁高考理第3题】已知，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：所以，故选C.考点：1.指数对数化简；2.不等式大小比较.4. 下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是（ ）AB CD【答案】C考点：函数奇偶性与单调性【方法规律】1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较4利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的【解题技巧】1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数3判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较4指数函数yax (a0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a0的解集为_【答案】x|2x3【解析】函数ylg(x22x3)有最小值，f(x)alg(x22x3)有最大值，0a1.由loga(x25x7)0，得0x25x71，解得2x3.不等式loga(x25x7)0的解集为x|2x3【易错点】指数函数和对数函数中注意讨论底数a的大小，复合函数的单调性往往也和a的取值有关热点2 幂函数、二次函数1. 【20xx高考天津，理8】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】D考点:求函数解析、函数与方程思、数形结合.2.【20xx高考江苏卷第10题】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】据题意解得考点:二次函数的性质3.【20xx浙江高考理第15题】设函数若，则实数的取值范围是_【答案】考点：1.分段函数；2.二次函数的性质.4.【20xx高考上海理科第9题】若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，因此的解集为.考点：幂函数的性质.【方法规律】1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解3.幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查(1)的正负：0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立【解题技巧】2. 做二次函数类型题是注意数形结合的应用，画出函数的草图能帮助我们理清思路3. 二次函数中如果含有参数，往往要进行分类讨论3.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.【易错点睛】1.注意幂函数与指数函数的联系与区别2.幂函数的增减与的关系3.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况例 如图是函数(m、nN*，m、n互质)的图象，则下列判断正确的是_m、n是奇数，且1m是偶数，n是奇数且1m是偶数，n是奇数且1m是奇数，n是偶数且1解析：将分数指数式化为根式，由定义域为R，值域为0，)知n为奇数，m为偶数，又由幂函数yx，当1时，图象在第一象限的部分下凸，当01时，图象在第一象限的部分上凸，故正确答案：【易错点】幂函数的单调性和a有关，注意a与0和1的比较【热点预测】1.函数的单调增区间与值域相同，则实数的取值为( )A B C D【答案】B【解析】函数的单调增区间为当为函数的最小值，故有2.函数的图象过一个定点P，且点P在直线上，则的最小值是（ ）A.12B.13C.24D.25【答案】D3.已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，其顶点为，点在函数图象上，而点不在函数图象上.结合图形可知，当，函数恰有3个不同的零点.4.已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( ) A； B； C； D.【答案】C5.已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) A或； B0； C0或； D0或.【答案】D【解析】根据已知可得函数，在直角坐标系中作出它的图象，如图，再作直线，可见当直线与抛物线相切时，或者直线过原点时，符合题意，此时或.6.【河南省安阳一中高三第一次月考】设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】7.【北京市重点中学高三8月开学测试】函数的零点个数为（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】试题分析：令，则，即，如图，分别作出与的图象，则可知有两个交点，即零点个数为两个.8.【20xx天津高考理第4题】函数的单调递增区间是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D9.【20xx高考浙江，理12】若，则 【答案】.【解析】，.10.【20xx高考上海，理7】方程的解为 【答案】【解析】设，则11.已知函数是奇函数，则函数的定义域为 【答案】【解析】本题定义域不确定，不要用奇函数的必要条件来求参数，而就根据奇函数的定义有，即，化简得恒成立，所以，则.由，解得.12.【20xx高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【答案】.13.【20xx高考四川，理15】已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数，都有；（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.【答案】【解析】设.对（1），从的图象可看出，恒成立，故正确.对（2），直线CD的斜率可为负，即，故不正确.对（3），由m=n得，即.令，则.由得：，作出的图象知，方程不一定有解，所以不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数，使得，即不一定存在不相等的实数，使得.故不正确.对（4），由m=n得，即.令，则.由得：，作出的图象知，方程必一定有解，所以一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数，使得，即一定存在不相等的实数，使得.故正确.所以（1）（4）14.【20xx高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.（1） 证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）.，由，得，当，时，且在上的最大值为，即，的最大值为.
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