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第3讲 数学归纳法A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取() A7 B8 C9 D10解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.答案B2用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案D3用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()A. BC. D.解析当nk时，左侧1，当nk1时，左侧1.答案C4对于不等式<n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，<11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即<k1，则当nk1时，<(k1)1，所以当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的假设，故推理错误答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_解析不等式的左边增加的式子是，故填.答案6如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(nN*)行，在这些数中非1的数字之和是_111121133114641解析所有数字之和Sn202222n12n1，除掉1的和为2n1(2n1)2n2n.答案2n2n三、解答题(共25分)7(12分)已知Sn1(n>1，nN*)，求证：S2n>1(n2，nN*)证明(1)当n2时，S2nS41>1，即n2时命题成立；(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即S2k1>1，则当nk1时，S2k11>1>111，故当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，对n2，nN*.不等式S2n>1都成立8(13分)已知数列an：a11，a22，a3r，an3an2(nN*)，与数列bn：b11，b20，b31，b40，bn4bn(nN*)记Tnb1a1b2a2b3a3bnan.(1)若a1a2a3a1264，求r的值；(2)求证：T12n4n(nN*)(1)解a1a2a3a1212r34(r2)56(r4)78(r6)484r.484r64，r4.(2)证明用数学归纳法证明：当nN*时，T12n4n.当n1时，T12a1a3a5a7a9a114，故等式成立假设nk时等式成立，即T12k4k，那么当nk1时，T12(k1)T12ka12k1a12k3a12k5a12k7a12k9a12k114k(8k1)(8kr)(8k4)(8k5)(8kr4)(8k8)4k44(k1)，等式也成立根据和可以断定：当nN*时，T12n4n.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案D2(20xx·广州一模)已知12×33×32433n×3n13n(nab)c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a、b、c解析等式对一切nN*均成立，n1,2,3时等式成立，即整理得解得a，bc.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_解析本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数n所拥有数对为(n1)对设123(n1)60，60，n11时还多5对数，且这5对数和都为12，12111210394857，第60个数对为(5,7)答案(5,7)4已知数列an的通项公式an(nN*)，f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是_解析f(1)1a11，f(2)(1a1)(1a2)f(1)·×，f(3)(1a1)·(1a2)(1a3)f(2)·×，由此猜想，f(n)(nN*)答案(nN*)三、解答题(共25分)5(12分)设数列an满足a13，an1a2nan2，n1,2,3，(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列an的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明解(1)a25，a37，a49，猜想an2n1.(2)Snn22n，使得Sn<2n成立的最小正整数n6.下证：n6(nN*)时都有2n>n22n.n6时，26>622×6，即64>48成立；假设nk(k6，kN*)时，2k>k22k成立，那么2k12·2k>2(k22k)k22kk22k>k22k32k(k1)22(k1)，即nk1时，不等式成立；由、可得，对于所有的n6(nN*)都有2n>n22n成立6(13分)(20xx·安徽)数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c的取值范围，使xn是递增数列(1)证明先证充分性，若c<0，由于xn1xxncxnc<xn，故xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由x2<x1可得c<0.(2)解假设xn是递增数列由x10，得x2c，x3c22c.由x1<x2<x3，得0<c<1.由xn<xn1xxnc知，对任意n1都有xn<，注意到 xn1xxnc(1xn)(xn)，由式和式可得1xn>0，即xn<1.由式和xn0还可得，对任意n1都有xn1(1)(xn)反复运用式，得xn(1)n1(x1)<(1)n1，xn<1和 xn<(1)n1两式相加，知21<(1)n1对任意n1成立根据指数函数y(1)n的性质，得210，c，故0<c.若0<c，要证数列xn为递增数列，即xn1xnxc>0，即证xn<对任意n1成立下面用数学归纳法证明当0<c时，xn<对任意n1成立(i)当n1时，x10<，结论成立(ii)假设当nk(kN*)时，结论成立，即xn<.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)<f()，这就是说当nk1时，结论也成立故xn<对任意n1成立因此，xn1xnxc>xn，即xn是递增数列由知，使得数列xn单调递增的c的范围是.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计·高考总复习光盘中内容.
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